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Hilfe Binomialapprox.: Alte Klausuraufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Fr 11.07.2008
Autor: tnd

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Für folgende Aufgabe könnte ich einen Lösungshinweis gebrauchen:

Also Afg. in kürze Packungen mit jeweils 80 Schrauben werden getestet und dürfen maximal 15 unbrauchbare Schrauben enthalten.
Zum Testen werden 6 Schrauben ohne zurücklegen entnommen, sind 2 unbrauchbar geht die Packung an den Hersteller zurück.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Packung zurückzuweisen, wenn sie tatsächlich 15 unbrauchbare Schrauben enthält

a) exakt
b) mit Hilfe der Binomialapproximation der hypergeometrischen Veteilung
c) mit Hilfe des Poissenschen Grenzwertsatzes

Wo ich nicht weiter weiss ist eben der Nachsatz mit den tatsächlich 15 Schrauben.
Normal würde ich so Vorgehen
a) Hypergeometrische Verteilung mit N = 80; M = 2; n=6
b) Binomialverteilung p=M/N = 1/40; n=6
c) hier könnte auch eien hinweis gebrauchen

MfG

Marius

        
Bezug
Hilfe Binomialapprox.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Sa 12.07.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> Hallo,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Für folgende Aufgabe könnte ich einen Lösungshinweis
> gebrauchen:
>  
> Also Afg. in kürze Packungen mit jeweils 80 Schrauben
> werden getestet und dürfen maximal 15 unbrauchbare
> Schrauben enthalten.
>  Zum Testen werden 6 Schrauben ohne zurücklegen entnommen,
> sind 2 unbrauchbar geht die Packung an den Hersteller
> zurück.
>  
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Packung
> zurückzuweisen, wenn sie tatsächlich 15 unbrauchbare
> Schrauben enthält
>  
> a) exakt
>  b) mit Hilfe der Binomialapproximation der
> hypergeometrischen Veteilung
>  c) mit Hilfe des Poissenschen Grenzwertsatzes
>  
> Wo ich nicht weiter weiss ist eben der Nachsatz mit den
> tatsächlich 15 Schrauben.
>  Normal würde ich so Vorgehen
>  a) Hypergeometrische Verteilung mit N = 80; M = 2; n=6

Die Verteilungsfunktion einer Hypergeometrischen Verteilung H(80,15,6), bei der eine Probe aus 6 Schrauben, welche, wenn sie zwischen 2 und 6 unbrauchbare Schrauben enthält zurückgewiesen wird, sähe so aus:

[mm] $F(x)=\sum_{k}\bruch{{M \choose k}*{N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}=\sum_{k=2}^{6}\bruch{{15 \choose k}*{65 \choose 6-k}}{{80 \choose 6}}=31,28$ [/mm] %


Alternativ könnte man sagen, die Probe wird zurückgewiesen, wenn sie nur zwischen 0 und 4 brauchbare Schrauben (von einer Stichprobe mit Umfang 6) enthält: H(80,65,6)

[mm] $F(x)=\sum_{k=0}^{4}\bruch{{65 \choose k}*{15 \choose 6-k}}{{80 \choose 6}}=31,28$ [/mm] %




>  b) Binomialverteilung p=M/N = 1/40; n=6

Eine Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung [mm] B\left(6,\bruch{15}{80}\right) [/mm] mit [mm] p=\bruch{M}{N}=\bruch{15}{80} [/mm] und n=6 (obwohl die Faustregel nicht erfüllt ist).

[mm] $F(x)=\sum_{n=2}^{6}{6 \choose n}*\left(\bruch{15}{80}\right)^n*\left(\bruch{65}{80}\right)^{6-n}=31,39$% [/mm]



>  c) hier könnte auch eien hinweis gebrauchen

Dieser []Link ist der Meinung, der Poissonsche Grenzwertsatz ist eine Annäherung der Binomialverteilung an eine Poissonverteilung.

[mm] $\mu [/mm] = [mm] n*\bruch{M}{N}=6*\bruch{15}{80}=1,125$ [/mm]

[mm] $F(x)=e^{-1,125}*\sum_{k=2}^{6} \bruch{1,125^{k}}{k!}=30,99$% [/mm]

Bemerkung: auch hier ist die Faustregel nicht erfüllt.



  

> MfG
>  
> Marius


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Hilfe Binomialapprox.: Frage wurde beantwortet!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Sa 12.07.2008
Autor: tnd

Hallo,

danke für die schnelle und ausführliche Antwort Martinius.


MfG

Marius

Bezug
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