Hauptteil von cot^2 um 0 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Pico |
| Aufgabe | | Bestimme den Hauptteil von [mm] cot^2(z) [/mm] um den Nullpunkt. |
Ich habe hier schon einige Sachen probiert bin aber nie wirklich weitergekommen.
Meine erste Idee war die Sinus und Cosinus Reihen einzusetzen und dann mit dem Cauchyprodukt zu arbeiten.
Da hatte ich dann:
[mm] cot(z)=\bruch{1}{z} *\sum_{k=1}^{\infty} c_n [/mm] * z^2n
[mm] \bruch{1}{ (2n+1)!} =\sum_{k=0}^{n} c_k [/mm] * [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{(2n-2k+1)!}
[/mm]
Durch einsetzten von Werten für n hatte ich dann [mm] c_0=1 [/mm] und sonst [mm] c_n=0
[/mm]
Was natürlich nicht stimmen kann.
Dann hab ich noch versucht, das mit der Eulerschen Formel umzuschrieben und dann eine Partialbruchentwicklung zu machen, da hatte ich dann das problem, dass es unendlich viele Nullstellen gibt und ich nicht wusste wie das dann gehen soll.
Dann hab ich mit versucht das umzuschrieben zu:
[mm] cot^2(z)=-\bruch{1}{sin^2(z)}-1
[/mm]
Da kam ich dann aber auch nicht weiter.
Bin ich denn mit meinen Versuchen auf dem richtigen Weg oder mache ich da was komplett falsches?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 18.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme den Hauptteil von [mm]cot^2(z)[/mm] um den Nullpunkt.
> Ich habe hier schon einige Sachen probiert bin aber nie
> wirklich weitergekommen.
>
> Meine erste Idee war die Sinus und Cosinus Reihen
> einzusetzen und dann mit dem Cauchyprodukt zu arbeiten.
> Da hatte ich dann:
> [mm]cot(z)=\bruch{1}{z} *\sum_{k=1}^{\infty} c_n * z^{2n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Als hat $\cot z$ einen Pol 1. Ordnung in 0 und ist eine ungerade Funktion.
Daraus folgt, dass $\cot^2 z$ einen Pol 2. Ordnung hat und eine gerade Funktion ist, also nur geradzahlige Potenzen von z in der Laurententwicklung vorkommen. Daher ist der Hauptteil von der Form $\bruch{a_{-2}}{z^2}}$. Der Koeffizient ist leicht auszurechnen, zum Beispiel durch Berechnung des Grenzwerts
[mm] \lim_{z\to 0} (z^2 \cot^2 z) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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