Hauptsatz der D-I-Rechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 28.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zum ersten Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Der heißt ja:
Sei [mm] f:[a,b]\rightarrow\IR [/mm] eine reellwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] [mm] \subset \IR, [/mm] so ist für alle [mm] x_0\in [/mm] [a,b] die Funktion
[mm] F:[a,b]\rightarrow\IR [/mm] mit [mm] F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t){\rm d}t
[/mm]
differenzierbar und eine Stammfunktion zu f, d. h., es gilt [mm] F^{\prime}(x)=f(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Mich verwirrt das [mm] x_0\in[a,b] [/mm] und das [mm] F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t){\rm d}t [/mm] .
Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f$ sein soll, und es gilt $F'(x)=f(x)$, müsste im Integral dann nicht $f(x)dx$ stehen?
Mich verwirrt das, dass die Variable der Stammfunktion nicht im Integral drin steht sondern in der Grenze, und das da im Integral plötzlich eine Varibale t steht.
Und ich verstehe auch gar nicht, was das genau bedeuten soll ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
So kenn ich das von der Schule her gar nicht..
Und ich verstehe auch nicht, warum da für die Grenzen extra noch ein [mm] x_0\in[a,b] [/mm] erwähnt wird.
Kann mir jemand diesen Satz erklären?
Vielen Dank.
LG Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 28.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zum ersten Teil des Hauptsatzes der
> Differential- und Integralrechnung.
>
> Der heißt ja:
>
>
>
> Sei [mm]f:[a,b]\rightarrow\IR[/mm] eine reellwertige stetige
> Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] [mm]\subset \IR,[/mm]
> so ist für alle [mm]x_0\in[/mm] [a,b] die Funktion
>
> [mm]F:[a,b]\rightarrow\IR[/mm] mit [mm]F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t){\rm d}t[/mm]
>
> differenzierbar und eine Stammfunktion zu f, d. h., es gilt
> [mm]F^{\prime}(x)=f(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
>
>
>
> Mich verwirrt das [mm]x_0\in[a,b][/mm] und das
> [mm]F(x):=\int_{x_0}^{x}f(t){\rm d}t[/mm] .
>
> Wenn [mm]F(x)[/mm] eine Stammfunktion zu [mm]f[/mm] sein soll, und es gilt
> [mm]F'(x)=f(x)[/mm], müsste im Integral dann nicht [mm]f(x)dx[/mm] stehen?
>
> Mich verwirrt das, dass die Variable der Stammfunktion
> nicht im Integral drin steht sondern in der Grenze, und das
> da im Integral plötzlich eine Varibale t steht.
>
> Und ich verstehe auch gar nicht, was das genau bedeuten
> soll
>
> So kenn ich das von der Schule her gar nicht..
>
> Und ich verstehe auch nicht, warum da für die Grenzen
> extra noch ein [mm]x_0\in[a,b][/mm] erwähnt wird.
>
>
>
> Kann mir jemand diesen Satz erklären?
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
Hallo,
du bist bisher gewohnt, den Flächeninhalt zwischen einer Kurve f(x) (meist "oben"), der x-Achse (meist die untere Begrenzung), und den senkrechten Linien x=a (meist links) und x=b (meist rechts) zu berechnen.
Jetzt machen wir mal folgendes:
1) Wir benennen die x-Achse um in eine t-Achse.
Jetzt könnten wir alles machen wie bisher, nur, das x jetzt t heißt.
Skizziere dir mal ein t-y-Koordinatensystem mit einem beliebigen Graphen f(t) oberhalb der t-Achse.
Zeichne als linke Begrenzung eine senkrechte Linie an einer beliebigen Stelle a.
LASSE ABER DI RECHTE SEITE OFFEN!
Du hast jetzt eine Fläche, die
- nach unten begrenzt ist durch die (feste) t-Achse
- nach linsbegrenzt ist durch einen festen Wert x=a (Entschuldigung, jetzt heißt es ja "t=a")
- nach oben begrenzt durch einen fest vorgegebenen Graphen f(t).
Damit die Fläche auch rechts begrenzt wird, wählen wir auch dort eine senkrechte Linie, aber nicht fest, sondern "seitlich verschiebbar".
Steht dieser Schieber an der Stelle t=10, so ist die begrenzte Fläche das Integral für f(t) in den Grenzen von a bis 10.
Steht dieser Schieber an der Stelle t=20, so ist die begrenzte Fläche das Integral für f(t) in den Grenzen von a bis 20.
Steht dieser Schieber an der Stelle t=32, so ist die begrenzte Fläche das Integral für f(t) in den Grenzen von a bis 32.
(Steht dieser Schieber an der Stelle t=a, so ist die begrenzte Fläche Null (denn zwischen a und a ist kein Platz für eine Fläche)
Wenn linke, obere und untere Begrenzung fest sind, ist die Größe der Fläche also nur abhängig von der oberen (veränderlichen) Grenze.
Diese obere Grenze liegt also nicht an einer festen Stelle b, sondern an einer variablen Stelle, und die nennen wir, wie wir es mit Variablen meist tun, x.
Das war der Grund, warum wir den Graphen durch "t" beschrieben haben - wir brauchen x als Bezeichner für die variable rechte Begrenzung.
Ach so, das Ganze funktioniert natürlich nicht nur, wenn die feste untere Grenze "a" ist.
Wenn der ganze Kram nur in einem Intervall von a bis b definiert ist, kann ich als linke Grenze eine Stelle [mm] x_0 [/mm] aus diesem Intervall wählen und die rechte Begrenzung x (nicht unbedingt bis unendlich, aber immerhin durch das gesamte Intervall) bis hin zu b laufen lassen.
Gruß Abakus
|
|
|
|
