Häufungswerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Di 07.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Hallo liebes Vorhilfe Team,
wir sollen Häufungswerte von 2 Folgen berechnen.
Einmal [mm] a_n =(-1)^n (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
und einmal [mm] b_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^i}+\bruch{(-1)^i}{3^i}.
[/mm]
zu [mm] a_n:
[/mm]
Ich habe mir gedacht, ich schaue mir an, wogegen [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
konvergiert und habe dann mit -1 und 1 die beiden Häufungspunkte.
Also [mm] c_n [/mm] := [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
Ich weiß doch schonmal, dass [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^n [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{n})^n. [/mm] Die letztere läuft aber gegen e. Dies ist meine konvergente Majorante.
Demnach weiß ich schonmal, dass sie konvergent ist, aber wogegen?
zu [mm] b_n:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^i}+\bruch{(-1)^i}{3^i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^i [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}(-\bruch{1}{3})^i.
[/mm]
Die erste Reihe läuft gegen 2.
Die zweite dann für gerade i gegen 4/3 und für ungerade gegen 3/4?
Ich glaube den Satz den ich dort anwende, darf ich nicht anwenden:
[mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Freue mich schon auf eure Tipps.
Vielen Dank im Voraus,
Hilbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mi 08.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo liebes Vorhilfe Team,
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> wir sollen Häufungswerte von 2 Folgen berechnen. Einmal [mm] a_n =(-1)^n (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
>
> und einmal [mm]b_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^i}+\bruch{(-1)^i}{3^i}.[/mm]
>
> zu [mm]a_n:[/mm]
>
> Ich habe mir gedacht, ich schaue mir an, wogegen
> [mm](1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
> konvergiert und habe dann mit -1 und 1 die beiden
> Häufungspunkte.
>
> Also [mm]c_n[/mm] := [mm](1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
> Ich weiß doch schonmal, dass [mm](1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm] <
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n.[/mm] Die letztere läuft aber gegen e. Dies
> ist meine konvergente Majorante.
> Demnach weiß ich schonmal, dass sie konvergent ist, aber wo gegen?
Ich kenne das Majorantenkriterium nur für Reihen. Versuch es mal mit dem Binomialsatz
[mm] \left(1+\br{1}{n^2}\right)^n=\summe_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\br{1}{n^{2i}} [/mm] und schreibe den Term für i=0 alleine und schau Dir den Rest an ob er gegen 0 konvergiert.
> zu [mm]b_n:[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^i}+\bruch{(-1)^i}{3^i}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^i[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-\bruch{1}{3})^i.[/mm]
>
> Die erste Reihe läuft gegen 2.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite dann für gerade i gegen 4/3 und für ungerade > gegen 3/4?
Die zweite Reihe ist auch eine geometrische Reihe und konvergiert gegen [mm] \br{3}{4}
[/mm]
> Ich glaube den Satz den ich dort anwende, darf ich nicht anwenden:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}q^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Der stimmt in der Form auch nur für n [mm] \to \infty [/mm] ansonsten gilt [mm] \br{q^{n+1}-1}{q-1}-1
[/mm]
> Freue mich schon auf eure Tipps.
> Vielen Dank im Voraus,
> Hilbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] c_n:=(1+ \bruch{1}{n^2})^n [/mm] :
Es gilt: [mm] $c_n^n= [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n^2})^{n^2} \to [/mm] e$
Somit gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
$2 [mm] \le c_n^n \le [/mm] 3$ für n>m.
Jetzt n-te Wurzel ziehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mi 08.12.2010 | | Autor: | hilbert |
Bei der [mm] a_n [/mm] habe ich jetzt folgendes gemacht:
[mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] = [mm] ((1+\bruch{1}{n})^n(1-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Das läuft dann gegen [mm] e^{-1} [/mm] * [mm] e^1 [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1
Also sind meine Häufungswerte bei 1 und -1, richtig?
Und zu [mm] b_n, [/mm] stimmen meine Häufungswerte 2 +3/4 und 2-3/4 etwa?
Vielen Dank =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der ursprünglichen Aufgabe hattest du $ [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^n [/mm] $
dafür ist dein Argument falsch, nimm das von Fred.
wenn du dich oben verschrieben hast und deine Folge $ [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] $war, ist es richtig.
Gruss leduart
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