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| Aufgabe | | Sei [mm]b_n,n\in\IN[/mm] eine Abzählung von den positiven rationalen Zahlen, also alle q mit q>0. Geben Sie die Häufungswerte der Folge [mm](b_n)_(n\in\IN)[/mm] an (mit Begründung). |
Hallo!
Habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Was genau ist noch mal ein Häufungspunkt? Hatten das nur in 1 Satz in der Vorlesung gesagt. Und wie kann ich an diese Aufgabe rangehen? Sind konkrete Zahlenwerte für den Häufungspunkt gefragt?
Danke und liebe Grüße, Fredi
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> Sei [mm]b_n,n\in\IN[/mm] eine Abzählung von den positiven rationalen
> Zahlen, also alle q mit q>0. Geben Sie die Häufungswerte
> der Folge [mm](b_n)_(n\in\IN)[/mm] an (mit Begründung).
> Hallo!
> Habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Was genau ist noch
> mal ein Häufungspunkt? Hatten das nur in 1 Satz in der
> Vorlesung gesagt.
Hallo,
das wäre es nützlich, das nachzuschlagen...
Definition:
Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer Folge, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.
> Und wie kann ich an diese Aufgabe
> rangehen?
Solche Aufgaben müssen immer mit der Klärung der Begriffe beginnen.
"Häufungspunkt" haben wir jetzt ja.
Das nächste ist "Abzählung der positiven rationalen Zahlen".
Wie habt Ihr Abzählung definiert, was ist das? Und: kann man die rationalen Zahlen überhaupt abzählen? D.h: ist es sinnvoll, von "Abzählung" zu reden?
Daß [mm] b_n [/mm] eine Abzählung ist, bedeutet, daß es zu jedem [mm] q\in\IQ_+ [/mm] ein [mm] n\in \IN [/mm] gibt mit [mm] b_n=q. [/mm] Die Natürlichen Zahlen werden also bijektiv auf [mm] \IQ_+ [/mm] abgebildet.
> Sind konkrete Zahlenwerte für den Häufungspunkt
> gefragt?
Möglicherweise hätte man bis ans Lebensende zu tun...
Überleg' Dir erstmal, ob Du ein [mm] q\in \IQ_+ [/mm] findest und eine Umgebung von dieser Zahl, in welcher nur endlich viele Glieder der Folge [mm] (b_n) [/mm] liegen.
Das wäre dann kein Häufungspunkt.
Gruß v. Angela
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> Definition:
> Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer Folge, falls in jeder
> noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele
> Folgenglieder liegen.
Ja, das erscheint mir logisch.
> Daß [mm]b_n[/mm] eine Abzählung ist, bedeutet, daß es zu jedem
> [mm]q\in\IQ_+[/mm] ein [mm]n\in \IN[/mm] gibt mit [mm]b_n=q.[/mm] Die Natürlichen
> Zahlen werden also bijektiv auf [mm]\IQ_+[/mm] abgebildet.
> Möglicherweise hätte man bis ans Lebensende zu tun...
:-D Das habe ich mir auch gedacht...
>
> Überleg' Dir erstmal, ob Du ein [mm]q\in \IQ_+[/mm] findest und eine
> Umgebung von dieser Zahl, in welcher nur endlich viele
> Glieder der Folge [mm](b_n)[/mm] liegen.
> Das wäre dann kein Häufungspunkt.
Ich glaube nicht, dass man da eine Zahl findet. Wenn ich z.B. die Zahl 1/2 nehme werde ich immer kleinere und immer größere Zahlen in der Umgebung von 1/2 finden.
Aber hat [mm]b_n[/mm] dann nicht unendlich viele Häufungspunkte???
Liebe Grüße, Fredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 01.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich glaube nicht, dass man da eine Zahl findet. Wenn ich
> z.B. die Zahl 1/2 nehme werde ich immer kleinere und immer
> größere Zahlen in der Umgebung von 1/2 finden.
>
>
> Aber hat [mm]b_n[/mm] dann nicht unendlich viele Häufungspunkte???
Genau, aber das musst du jetzt präzise aufschreiben. nimm ein beliebiges q und eine beliebig kleine Umgebung von q also das Intervall [mm] (q-\varepsilon [/mm] , [mm] q+\varepsilon) [/mm] begründ warum darin unendlich viele [mm] r\in \IQ [/mm] liegen.
Gruss leduart
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> Genau, aber das musst du jetzt präzise aufschreiben. nimm
> ein beliebiges q und eine beliebig kleine Umgebung von q
> also das Intervall [mm](q-\varepsilon[/mm] , [mm]q+\varepsilon)[/mm] begründ
> warum darin unendlich viele [mm]r\in \IQ[/mm] liegen.
> Gruss leduart
Hallo Leduart,
Danke  . Ich habe leider immer das Problem, das ganze gut mathematisch aufzuschreiben :-/. Einleuchtend ist mir der Ansatz... . Kann ich jetzt z.B. auch über den Widerspruchsbeweis gehen, sodass ich sage, dass nur endlich viele [mm]r\in \IQ[/mm] in diesem Intervall liegen?
Meine (mathematische) Idee:
Sei [mm]r_1[/mm], [mm]r\in \IQ[/mm] eine Zahl im Intervall [mm](q-\varepsilon[/mm] , [mm]q+\varepsilon)[/mm]. Nun gibt es auch eine Zahl [mm]r_2[/mm], die im Intervall [mm](q-\varepsilon/2[/mm] , [mm]q+\varepsilon/2)[/mm]liegt . Nun kann ich das fortführen für [mm]r_3[/mm] etc. und eine immer kleinere Umgebung wählen und werde immer noch ein r finden, das Intervall wird immer kleiner und doch finde ich ein r. Damit gibt es unendlich viele r, und nicht endlich viele, wie ich versucht habe zu beweisen.
Geht's noch mathematischer? Wenn ja, hast du einen Tip  ?
Liebe Grüße
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> Meine (mathematische) Idee:
> Sei [mm]r_1[/mm], [mm]r\in \IQ[/mm] eine Zahl im Intervall [mm](q-\varepsilon[/mm] ,
> [mm]q+\varepsilon)[/mm]. Nun gibt es auch eine Zahl [mm]r_2[/mm], die im
> Intervall [mm](q-\varepsilon/2[/mm] , [mm]q+\varepsilon/2)[/mm]liegt . Nun
> kann ich das fortführen für [mm]r_3[/mm] etc. und eine immer
> kleinere Umgebung wählen und werde immer noch ein r finden,
> das Intervall wird immer kleiner und doch finde ich ein r.
> Damit gibt es unendlich viele r, und nicht endlich viele,
> wie ich versucht habe zu beweisen.
Hallo,
Deine Grundidee ist nicht übel, gleichzeitig hat sie aber einen großen Haken:
sie basiert darauf, daß Du in einer jeden [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] q\in \IR [/mm] eine von q verschiedene Zahl [mm] r\in \IQ [/mm] findest.
Und genau diesen wichtigen Schritt, warum Du da eine weitere rationale Zahl finden kannst, hast Du nicht begründet:
> Sei [mm]r_1[/mm], [mm] \in \IQ[/mm] eine Zahl im Intervall [mm](q-\varepsilon[/mm] [mm]q+\varepsilon)[/mm]
Die Existenz dieser rationalen Zahl [mm] r_1 [/mm] mußt Du begründen!
Wenn Dir das gelungen ist, dann kannst Du sogar auf die ganzen folgenden immer kleineren Umgebungen verzichten:
es ist dann [mm] r_2:=\bruch{1}{2}(q+r_1) [/mm] in diesem Intervall, ebenso
[mm] r_3:=\bruch{1}{2}(q+r_2), [/mm] also
[mm] r_{n+1}:=\bruch{1}{2}(q+r_n).
[/mm]
Somit hättest Du recht einfach mehr als endlich viele rationale Zahlen im Intervall [mm](q-\varepsilon[/mm] [mm]q+\varepsilon)[/mm] gefunden.
Aber Du brauchst die erste, sonst klappt's nicht.
Ein Tip zum Auffinden einer rationalen Zahl im fraglichen Intervall: laß Dich vom Archimedischen Axiom inspirieren.
Gruß v. Angela
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> Aber Du brauchst die erste, sonst klappt's nicht.
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> Ein Tip zum Auffinden einer rationalen Zahl im fraglichen
> Intervall: laß Dich vom Archimedischen Axiom inspirieren.
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela,
Heißt das dann, dass ich ein [mm]q_0[/mm] finden kann, für das gilt [mm]q_0r_1[/mm]?
Ich komme leider mit dem archimedischen Axiom nicht so ganz klar... .
Liebe Grüße
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Hiho,
wenn du das archimedische Axiom nicht so ganz beherrscht, hilft dir vielleicht an anderer Ansatz:
Sei [mm]q \in \IQ[/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Zahl mit [mm]n \in \IN[/mm], dann ist [mm]\bruch{1}{n} \in \IQ[/mm] und damit auch [mm]q + \bruch{1}{n} \in \IQ[/mm].
Damit [mm]q + \bruch{1}{n} \in (q-\varepsilon,q+\varepsilon) [/mm] gilt, muss [mm]\bruch{1}{n} < \varepsilon [/mm] gelten.
Und nun überlege mal, wieviele [mm] \bruch{1}{n} [/mm] du findest, die kleiner sind als [mm] \varepsilon [/mm] und warum sind es soviele? (Tip: Nullfolge).
Gruß,
Gono.
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Ok, alles klar .
Ist damit die Aufgabe gelöst? Weil ich soll ja die Häufungswerte der Folge angeben?
Liebe Grüße
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Na was sind denn nun die Häufungspunkte?
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