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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Beweisen sie dass [mm] GL_2 (\IZ) [/mm] := [mm] \{ A \in M_2 (\IZ) | det A \in \{1,-1\}\} [/mm] eineuntergruppe von [mm] GL_2 (\IC) [/mm] ( mit der multiplikation) ist |
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in GL_2 (\IZ) [/mm] gilt [mm] AB^{-1} \in GL_2 (\IZ) [/mm] da
[mm] det(AB^{-1}) [/mm] = det(A)* [mm] \frac{1}{det(B)}\in [/mm] {1,-1}
[mm] GL_2 (\IZ) \not= \{\} [/mm] da [mm] I_2 \in GL_2 (\IZ)
[/mm]
Frage:
Man muss doch auch überprüfen, dass [mm] A^{-1} [/mm] ganzzahlige einträge hat
[mm] A^{-1} [/mm] hat die [mm] gestalt:\frac{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Wie kann ich da auf ganzzahlige eintäge hoffen? Oder ist der skalar egal? Warum?
Frage:
Die Bezeichnung GL wird doch sonst für die general linear group verwendet, deren determinante nicht 0 ist. Wieso hat man hier auch die Bezeichung [mm] GL_2 [/mm] gennant obwohl die determinante nur 1 oder -1 sein dürfen?
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> Beweisen sie dass [mm]GL_2 (\IZ)[/mm] := [mm]\{ A \in M_2 (\IZ) | det A \in \{1,-1\}\}[/mm]
> eineuntergruppe von [mm]GL_2 (\IC)[/mm] ( mit der multiplikation)
> ist
> [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in GL_2 (\IZ)[/mm] gilt [mm]AB^{-1} \in GL_2 (\IZ)[/mm] da
> [mm]det(AB^{-1})[/mm] = det(A)* [mm]\frac{1}{det(B)}\in[/mm] {1,-1}
> [mm]GL_2 (\IZ) \not= \{\}[/mm] da [mm]I_2 \in GL_2 (\IZ)[/mm]
>
> Frage:
> Man muss doch auch überprüfen, dass [mm]A^{-1}[/mm] ganzzahlige
> einträge hat
> [mm]A^{-1}[/mm] hat die [mm]gestalt:\frac{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\
-c & a }[/mm]
>
> Wie kann ich da auf ganzzahlige eintäge hoffen?
Hallo,
unterm Bruchstrich steht doch die Determinante Deiner Matrix A.
> Oder ist
> der skalar egal? Warum?
>
> Frage:
> Die Bezeichnung GL wird doch sonst für die general linear
> group verwendet, deren determinante nicht 0 ist. Wieso hat
> man hier auch die Bezeichung [mm]GL_2[/mm] gennant
Ich denke mal, weil hier [mm] 2\times2-Matrizen [/mm] betrachtet werden.
LG Angela
> obwohl die
> determinante nur 1 oder -1 sein dürfen?
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