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Hallo!
Habe eine kurze Frage ohne Kontext. Anscheinend gilt
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] e^{\lambda}
[/mm]
Habe versucht, das hier nach x (= [mm] \lambda) [/mm] aufzulösen, leider erfolglos:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda^0}{0!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\lambda^n}{n!} [/mm] = [mm] e^x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{i!} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{0!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n!})^x
[/mm]
x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(\summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!})
[/mm]
Und nun? Komme ich hiermit überhaupt weiter?
Danke und Gruß,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 07.03.2020 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist einfach die Taylorreihe mit der [mm] e^x [/mm] definiert werden kann , wenn man irgendeine Def, von [mm] e^x [/mm] hat. Ich denke nicht dass du da was beweisen musst, oder wie ist denn für dich [mm] e^x [/mm] definiert?
Gruß ledum
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Hallo,
ach Taylor-Reihe. Was einem nicht alles einfallen muss!
Ok, jetzt kann ich die Herleitung des Erwartungswertes der Poisson-Verteilung nachvollziehen:
E(X) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] i [mm] \bruch{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{i - 1}}{(i - 1)!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Jetzt steht hier, die Rechnung für die Varianz [mm] (\sigma^2 [/mm] = [mm] \lambda) [/mm] sieht analog aus.
Versuche mich daran, leider bislang vergeblich:
[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} i^2 \bruch{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} i^2 \bruch{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] \bruch{\lambda}{e^{\lambda}} \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] i [mm] \bruch{\lambda^{i - 1}}{(i - 1)!} [/mm] - [mm] \lambda^2
[/mm]
Wie geht es jetzt weiter? Kann mir einer helfen?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Wie geht es jetzt weiter? Kann mir einer helfen?
Es ist $i = (i-1) + 1$
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 07.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Habe eine kurze Frage ohne Kontext. Anscheinend gilt
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{\lambda^i}{i!}[/mm] = [mm]e^{\lambda}[/mm]
>
> Habe versucht, das hier nach x (= [mm]\lambda)[/mm] aufzulösen,
> leider erfolglos:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!}[/mm]
> = [mm]\bruch{\lambda^0}{0!}[/mm] + ... + [mm]\bruch{\lambda^n}{n!}[/mm] = [mm]e^x[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{i!}[/mm]
> = [mm](\bruch{1}{0!}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n!})^x[/mm]
Nach dem dritten = fehlt ein x, nach dem vierten = fehlt lim.
>
> x = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln(\summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!})[/mm]
>
> Und nun?
Diese letzte Gleichung ist gerade
$ [mm] x=\ln (e^{\lambda })=\lambda [/mm] =x$,
Nach dem Motto : verwurschtle ich eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion, so kommt die Identität heraus.
> Komme ich hiermit überhaupt weiter?
>
> Danke und Gruß,
>
> Martin
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