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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Di 23.06.2015
Autor: hilbert

Aufgabe
Sei 0<a<1. Zeigen Sie, dass
[mm] \left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] 0

Hallo Leute!

Diese Aufgabe bereitet mir etwas Schwierigkeiten. Für [mm] a=\frac{1}{2} [/mm] ist das ganze kein Problem, problematisch wirds erst bei dem Parameter a.

Meine Idee ist folgende (die bei [mm] a=\frac{1}{2} [/mm] auch gut funktioniert):

[mm] \left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}=&\frac{[\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}][\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}]}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}} [/mm]
[mm] =&\frac{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a}}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}} [/mm]

Wie bekomme ich jetzt die Differenz im Zähler unter Kontrolle?

Vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 23.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz bringt in diesem Fall nix.
Klammere [mm] $n^{2\alpha}$ [/mm] aus und stelle so um, dass du einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] erhältst.
Nach einmaligem Anwenden der Regel von l'Hopital erhältst du das Gewünschte.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 23.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo nochmal

> Sei 0<a<1. Zeigen Sie, dass

>

> [mm]\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}[/mm]
> 0
> Hallo Leute!

>

> Diese Aufgabe bereitet mir etwas Schwierigkeiten. Für
> [mm]a=\frac{1}{2}[/mm] ist das ganze kein Problem, problematisch
> wirds erst bei dem Parameter a.

>

> Meine Idee ist folgende (die bei [mm]a=\frac{1}{2}[/mm] auch gut
> funktioniert):

>

> [mm]\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}=&\frac{[\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}][\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}]}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}[/mm]

>

> [mm]=&\frac{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a}}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}[/mm]

>

> Wie bekomme ich jetzt die Differenz im Zähler unter
> Kontrolle?

Mit der dritten binomischen Formel

[mm] \left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a} [/mm]
[mm] =\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}\right)^{2}-\left(n^{2a}\right)^{2} [/mm]
[mm] =\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}+n^{2a}\right)\cdot\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}-n^{2a}\right) [/mm]


>

> Vielen Dank im Voraus!

Nun kannst du kürzen

Marius

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Di 23.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Marius,

und damit haben wir dann wieder die ursprüngliche Form, die sie ja in den Griff bekommen wollte :-)
Du hast also die Umformungen nur wieder rückgängig gemacht.....

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Ooops
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Mi 24.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo Gono.

Das war nicht beabsichtigt, das war eine Antwort, ohne die Aufgabe konkret zu lesen.

Marius

Bezug
        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Mi 24.06.2015
Autor: fred97

Mein Vorschlag:

Sei [mm] a_n:=\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a} [/mm] und [mm] f(x):=x^a [/mm] für x>0

Dann ist [mm] a_n=f(n^2+\frac{1}{n})-f(n^2). [/mm] Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] $c_n \in (n^2,n^2+\frac{1}{n}) [/mm] mit

   [mm] a_n=f'(c_n)(n^2+\frac{1}{n}-n^2)=f'(c_n)*\frac{1}{n}. [/mm]

Schätzt man [mm] f'(c_n) [/mm] geeignet ab, so folgt

  $0 [mm] \le a_n \le \frac{a}{n}$ [/mm]

FRED



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