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| Aufgabe | Bestimme die folgenden Grenzwerte:
1. [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{\pi}{2}^-} (tan(x) - \bruch{1}{cos x} )[/mm]
2. [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm] |
Hallo an alle lieben Helfer :)
Dies ist die zweite Musteraufgabe für meine nächste Klausur, also der Aufgabentyp wird genauso in der Klausur drankommen und deshalb versuche ich mich gut auf diesen Aufgabentyp vorzubereiten.
Ansatz:
Dieser Aufgabentyp ist mir noch aus dem Thema Folgen bekannt. Da sollte ich Folgen auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.
Gibt es hier nun einen Unterschied? Außer das es nun um Funktionen und nicht mehr um Folgen geht?
Die Aufgabe kommt aus der Zeit, als wir uns mit Stetigkeit beschäftigt haben.
Aber wie hilft mir hier Stetigkeit weiter?
Vor sinus,cosinus,tangens und der e-Funktion hatte ich schon immer Angst. ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
Was muss ich über sinus,cosinus und tangens für diesen Aufgabentyp wissen?
Ich weiß das [mm]sin \alpha = \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}[/mm] und entsprechend auch für cos und tan.
Aber das ist Schulwissen und das hilft mir hier glaube ich nicht weiter.
Erst einmal bis hierhin.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen :)
Gruß Lisa
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Hallo Lisa,
> Bestimme die folgenden Grenzwerte:
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> 1. [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{\pi}{2}^-} (tan(x) - \bruch{1}{cos x} )[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
> Ansatz:
>
> Dieser Aufgabentyp ist mir noch aus dem Thema Folgen
> bekannt. Da sollte ich Folgen auf Konvergenz untersuchen
> und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.
> Gibt es hier nun einen Unterschied? Außer das es nun um
> Funktionen und nicht mehr um Folgen geht?
Nein, eigentlich gibt es keinen Unterschied. Es gibt nur ein, zwei Sätze mehr, die du nun zum Lösen der Aufgaben benutzen kannst.
> Die Aufgabe kommt aus der Zeit, als wir uns mit Stetigkeit
> beschäftigt haben.
> Aber wie hilft mir hier Stetigkeit weiter?
Du benutzt bei solchen Aufgaben oft Stetigkeit, "ohne es zu merken".
Zum Beispiel Sinus, Cosinus, Exp sind stetig, das heißt sie erfüllen auf dem ganzen Definitionsbereich die Eigenschaft
[mm] $\lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Deswegen ist zum Beispiel
[mm] $\lim_{x\to 0}\cos(x) [/mm] = [mm] \cos(0) [/mm] = 1$.
> Vor sinus,cosinus,tangens und der e-Funktion hatte ich
> schon immer Angst.
Brauchst du nicht, es gibt nicht viel, was du da wissen musst.
> Was muss ich über sinus,cosinus und tangens für diesen
> Aufgabentyp wissen?
Gut ist zu wissen, was die Ableitungen von sinus, cosinus, tangens, exp sind. Außerdem, dass sie stetig sind. Und dass [mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] ist.
> Ich weiß das [mm]sin \alpha = \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}[/mm]
> und entsprechend auch für cos und tan.
> Aber das ist Schulwissen und das hilft mir hier glaube ich
> nicht weiter.
Ja, das nützt nichts.
Zur ersten Aufgabe:
[mm] $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right)$.
[/mm]
Als erstes solltest du den Wert [mm] $\pi/2$ [/mm] einfach mal einsetzen und überprüfen was rauskommt. Wenn keine Probleme beim Einsetzen auftreten und du ein Ergebnis $a$ erhältst, dann folgt wegen der Stetigkeit aller auftretenden Funktionen, dass der Grenzwert genau $a$ ist.
Wenn du es einsetzt, siehst du, dass [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] rauskommt. Das ist also ein "Problem", so kannst du den Grenzwert nicht bestimmen.
Es gibt den Satz von L'Hospital, der es ermöglicht, Grenzwerte zu berechnen, wenn der Fall [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] oder [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] vorliegt. Den wollen wir benutzen. Dafür müssen wir aber erstmal so eine Form durch Umformen erzeugen:
[mm] $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right)$.
[/mm]
Nun liegt der Fall $0/0$ vor. L'Hospital sagt in solchen Fällen: Wenn der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] existiert, so gilt [mm] $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. [/mm] Wir können also den Grenzwert bestimmen, indem wir nun Zähler und Nenner getrennt ableiten.
[mm] $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}\right) [/mm] = 0$.
Versuch das auch mal bei 2.!
Viele Grüße,
Stefan
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HalloStefan [smilie3]
Danke, dass du mir hilfst und danke für die ausführliche Antwort :)
> Hallo Lisa,
>
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> > Bestimme die folgenden Grenzwerte:
> >
> > 1. [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{\pi}{2}^-} (tan(x) - \bruch{1}{cos x} )[/mm]
>
> >
> > 2. [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
>
>
> > Ansatz:
> >
> > Dieser Aufgabentyp ist mir noch aus dem Thema Folgen
> > bekannt. Da sollte ich Folgen auf Konvergenz untersuchen
> > und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.
> > Gibt es hier nun einen Unterschied? Außer das es nun um
> > Funktionen und nicht mehr um Folgen geht?
>
> Nein, eigentlich gibt es keinen Unterschied. Es gibt nur
> ein, zwei Sätze mehr, die du nun zum Lösen der Aufgaben
> benutzen kannst.
Kannst du mir diese Sätze bitte nennen?
Satz von L'Hospital habe ich unten schon gesehen, der ist wirklich sehr hilfreich.
> > Was muss ich über sinus,cosinus und tangens für diesen
> > Aufgabentyp wissen?
>
> Gut ist zu wissen, was die Ableitungen von sinus, cosinus,
> tangens, exp sind.
Oh ja, die weiß ich auch noch aus der Schule.
Ich habe mir das immer so aufgeschrieben:
sin(x)
cos(x)
-sin(x)
-cos(x)
Und man liest die Ableitungen einfach von oben nach unten.
Die Ableitung vom Tangens kenne ich nicht.
Aber nach der Gleichung von dir würde ich sagen:
[mm]f(x) = tan (x) = \bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
[mm]f'(x) = \bruch{cos(x)}{-sin(x)}[/mm]
> Zur ersten Aufgabe:
>
> [mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right)[/mm].
>
> Als erstes solltest du den Wert [mm]\pi/2[/mm] einfach mal einsetzen
> und überprüfen was rauskommt. Wenn keine Probleme beim
> Einsetzen auftreten und du ein Ergebnis [mm]a[/mm] erhältst, dann
> folgt wegen der Stetigkeit aller auftretenden Funktionen,
> dass der Grenzwert genau [mm]a[/mm] ist.
>
> Wenn du es einsetzt, siehst du, dass [mm]\infty - \infty[/mm]
> rauskommt. Das ist also ein "Problem", so kannst du den
> Grenzwert nicht bestimmen.
>
> Es gibt den Satz von L'Hospital, der es ermöglicht,
> Grenzwerte zu berechnen, wenn der Fall
> [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] oder [mm]\frac{0}{0}[/mm] vorliegt. Den wollen
> wir benutzen. Dafür müssen wir aber erstmal so eine Form
> durch Umformen erzeugen:
>
> [mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right)[/mm].
>
> Nun liegt der Fall [mm]0/0[/mm] vor. L'Hospital sagt in solchen
> Fällen: Wenn der Grenzwert [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
> existiert, so gilt [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm].
> Wir können also den Grenzwert bestimmen, indem wir nun
> Zähler und Nenner getrennt ableiten.
>
> [mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}\right) = 0[/mm].
>
>
> Versuch das auch mal bei 2.!
Wow, das hast du wirklich super erklärt!!! :)
Okay, ich probiere es mal:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
Ich setzte einfach für x 0 ein und schaue, ob ich einen Grenzwert a erhalte.
Für [mm]x=0[/mm] ist der Zähler [mm]\infty[/mm].
Der Nenner ist 0.
Nun habe ich aber die Form [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm]. Also kann ich den Satz von de l'Hospital ohne vorher umgeformt zu haben nicht anwenden.
Leider komme ich bei der Umformung nicht weiter.
Kannst du mir einen Tipp geben?
Muss ich wieder mit der Gleichung [mm]tan (x) = \bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm] arbeiten?
Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion vom Sinus, aber das hilft mir leider nicht weiter.
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
Naja, im Wesentlichen gibt es für die Auswertung von solchen Grenzwerten:
- L'Hospital
- die Regel, dass Grenzprozesse in stetige Funktionen hineingezogen werden dürfen.
- Die allgemeinen Grenzwertsätze (die vergisst man leicht. Wenn man einen komplizierten Grenzwert ausrechnen muss, kann man ihn dadurch in kleinere Teile aufspalten)
> Okay, ich probiere es mal:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
>
> Ich setzte einfach für x 0 ein und schaue, ob ich einen
> Grenzwert a erhalte.
> Für [mm]x=0[/mm] ist der Zähler [mm]\infty[/mm].
> Der Nenner ist 0.
Nein, der Zähler nimmt ebenfalls den Wert 0 an (bzw. konvergiert dagegen).
$x [mm] \to [/mm] 0$ also [mm] $-\frac{1}{x} \to -\infty$ [/mm] also [mm] $\exp\left(-\frac{1}{x}\right) \to [/mm] 0.$
L'Hospital ist also ohne weitere Umformungen direkt anwendbar.
Die Ableitung von [mm] \arcsin(x) [/mm] kannst du über die Regel für Ableitungen mit der Umkehrfunktion bestimmen. [mm] $(f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
[/mm]
Eventuell muss dann nochmal L'Hospital angewandt werden.
Viele Grüße,
Stefan
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Guten Abend, Stefan :)
Okay, neuer Ansatz:
[mm]f(x) = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
[mm]f'(x) = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{cos(arcsin(x)}} = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}} = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2} = \bruch{0}{0}[/mm]
Also wieder l'Hospital:
Jetzt muss ich aber irgendwie im Zähler die Produktregel anwenden, aber im Nenner ist auch noch ein [mm] x^2, [/mm] also Quotientenregel. Wie soll ich das nun machen?
Erst Produktregel und dann Quotientenregel mit dem neuen Zähler?
Das wird sehr unübersichtlich, gibt es hier vielleicht einen Trick, oder ist der Aufgabensteller so böse :(
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
>
> Guten Abend, Stefan :)
>
> Okay, neuer Ansatz:
>
> [mm]f(x) = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
>
> [mm]f'(x) = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{cos(arcsin(x)}} = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}} = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2} = \bruch{0}{0}[/mm]
>
> Also wieder l'Hospital:
Genau.
Allerdings kannst du einige Vereinfachungen vornehmen: Den Term [mm] $\sqrt{1-x^2}$ [/mm] musst du nicht mehr mitschleppen, weil dieser bereits den Limes 1 für [mm] $x\to [/mm] 0+$ besitzt.
Es genügt also [mm] $\lim_{x\to 0+}\frac{\exp(-\frac{1}{x})}{x^2}$ [/mm] zu betrachten (Grenzwertsätze).
Nun substituiere $u := [mm] \frac{1}{x}$. [/mm] Der Grenzübergang $x [mm] \to [/mm] 0+$ geht über zu $u [mm] \to +\infty$.
[/mm]
Du hast also zu berechnen:
[mm] $\lim_{u \to +\infty}\Big( u^2*\exp(-u)\Big) [/mm] = [mm] $\lim_{u \to +\infty}\frac{u^2}{\exp(u)}$.
[/mm]
Und das ist ein bekannter Grenzwert, nämlich Null. (Die Exponentialfunktion wächst viel schneller als jedes Polynom. Du könntest das jetzt auch mit zweimaliger Anwendung von L'Hospital nachrechnen, dass das gegen Null geht).
Viele Grüße,
Stefan
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> > Okay, neuer Ansatz:
> >
> > [mm]f(x) = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
> >
> > [mm]f'(x) = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{cos(arcsin(x)}} = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{x^2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}} = \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2} = \bruch{0}{0}[/mm]
> >
> > Also wieder l'Hospital:
>
> Genau.
>
> Allerdings kannst du einige Vereinfachungen vornehmen: Den
> Term [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm] musst du nicht mehr mitschleppen, weil
> dieser bereits den Limes 1 für [mm]x\to 0+[/mm] besitzt.
Wenn da z.B [mm]\wurzel{4-x^2}[/mm] stehen würde, dann wäre der Grenzwert 2 und ich könnte den Term auch außen vor lassen, musss ihn aber am Ende dann mit dem Grenzwert von [mm]\lim_{x\to 0+}\frac{\exp(-\frac{1}{x})}{x^2}[/mm] multiplizieren, oder?
> Es genügt also [mm]\lim_{x\to 0+}\frac{\exp(-\frac{1}{x})}{x^2}[/mm]
> zu betrachten (Grenzwertsätze).
>
> Nun substituiere [mm]u := \frac{1}{x}[/mm]. Der Grenzübergang [mm]x \to 0+[/mm]
> geht über zu [mm]u \to +\infty[/mm].
> Du hast also zu berechnen:
>
> [mm]\lim_{u \to +\infty}\Big( u^2*\exp(-u)\Big)[/mm] = [mm][/mm][mm]\lim_{u \to +\infty}\frac{u^2}{\exp(u)}[/mm]
>
> Und das ist ein bekannter Grenzwert, nämlich Null. (Die
> Exponentialfunktion wächst viel schneller als jedes
> Polynom. Du könntest das jetzt auch mit zweimaliger
> Anwendung von L'Hospital nachrechnen, dass das gegen Null
> geht).
Den Rest habe ich verstanden, vielen lieben Dank, nun mache ich mich selber an Aufgaben und frage, falls es irgendwo klemmt :)
Liebste Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
ich dachte, Ihr wärt mit den Grenzwerten jetzt mal fertig...
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2}}{x^2} = \bruch{0}{0}[/mm]
> > >
> > > Also wieder l'Hospital:
> >
> > Genau.
> >
> > Allerdings kannst du einige Vereinfachungen vornehmen: Den
> > Term [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm] musst du nicht mehr mitschleppen, weil
> > dieser bereits den Limes 1 für [mm]x\to 0+[/mm] besitzt.
>
> Wenn da z.B [mm]\wurzel{4-x^2}[/mm] stehen würde, dann wäre der
> Grenzwert 2 und ich könnte den Term auch außen vor
> lassen, musss ihn aber am Ende dann mit dem Grenzwert von
> [mm]\lim_{x\to 0+}\frac{\exp(-\frac{1}{x})}{x^2}[/mm]
> multiplizieren, oder?
Ja. Schau Dir nochmal an, unter welchen Bedingungen die Grenzwertsätze anwendbar sind (so z.B. auch hier).
> > Es genügt also [mm]\lim_{x\to 0+}\frac{\exp(-\frac{1}{x})}{x^2}[/mm]
> > zu betrachten (Grenzwertsätze).
...sofern existent...
> Den Rest habe ich verstanden, vielen lieben Dank, nun mache
> ich mich selber an Aufgaben und frage, falls es irgendwo
> klemmt :)
Na dann viel Erfolg - und bis bald 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 So 10.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Guten Tag, reverend :)
> Hallo nochmal,
>
> schläfst du eigentlich nie?
Ach, gelegentlich schlaf ich auch :P
> > Guten Abend reverend :)
>
> In meiner Zeitzone (UTC+1, also z.B. Angola, Nigeria,
> Norwegen) ist es schon Nacht...
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Aber die Fragen, die ich gestellt habe wurden beantwortet :)
> > > Na dann viel Erfolg - und bis bald
> >
> > Dankeschön, ich wünsche dir noch eine gute Nacht
> > ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
>
> Ich glaub, das probier ich jetzt mal...
>
Liebe Grüße,
Lisa
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Tut mir Leid, die Ableitung war wirklich schlecht.
Neuer Versuch:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{exp(-\bruch{1}{x})}{\textrm{arcsin} x}[/mm]
[mm][/mm]
[mm]f'(x) = \bruch{u'v - uv'}{v^2} = \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})*arcsinx}{x^2} - exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2} }{(arcsin(x))^2}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} f'(x) = \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{\bruch{exp(-\bruch{1}{x})*arcsinx}{x^2} - exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2} }{(arcsin(x))^2} = \bruch{\infty}{\infty}[/mm]
Nun wieder l'Hospital:
Kann ich nun [mm]exp(-\bruch{1}{x})*\wurzel{1-x^2} [/mm] weglassen, da ich weiß das der Grenzwert hiervon 0 ist?
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Hallo Lisa,
> Tut mir Leid, die Ableitung war wirklich schlecht.
Das bezog sich aber auf die Ableitung vom Tangens! [mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.
[/mm]
Achtung: Lass dich jetzt nicht verwirren! Wenn du den Tangens ableitest, musst du natürlich die Quotientenregel benutzen.
Bei L'Hospital dagegen hast du alles richtig gemacht (und ich habe ja in der letzten Antwort schon geschrieben, wie man weiter vorgeht
).
L'Hospital sagt, dass [mm] $\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, [/mm] d.h. bei diesem Satz muss man wirklich getrennt Zähler und Nenner ableiten.
Das hat aber nichts mit der Ableitung von [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] zu tun. Das heißt, L'Hospital sagt NICHT, dass [mm] $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' [/mm] = [mm] \frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] ist.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Sa 09.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Oh, nun sehe ich es auch.
Vielen Dank nochmal für die Erklärung Stefan, nun ist alles klar :)
Vielen Dank, leduart :)
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 09.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Ableitung von f=tan ist die Ableitung von sin(x)/cos(x) und wie du das abgeleitet hast ist schrecklich!
mach das wirklich! (das Ergebnis ist [mm] f'=1/cos^2=1+tan^2)
[/mm]
du solltest die Quotientenregel doch kennen und anwenden können?
ausserdem MUSS man wissen [mm] sin^2+cos^2=1
[/mm]
Gruss leduart
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Danke leduart,
ich habe vergessen darauf einzugehen.
Viele Grüße,
Stefan
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