Grenzwert, Existenz zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mi 06.08.2014 | | Autor: | cluso. |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \sin (\frac{1}{x}). [/mm] Zeigen Sie, dass der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 nicht existiert, wohl aber für x [mm] \to \infty. [/mm] |
Hi,
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst:
Es ist: [mm] \lim_{x\to0} \sin(\frac{1}{x}) [/mm] = [mm] \lim_{x \to \infty} \sin [/mm] x. Da alle Werte des sinus in [-1,1] liegen, und x gegen unendlich geht, springt der Wert von -1 zu +1 immer schneller hin und her, weshkab er also nicht existieren kann. Richtig so?
Den 2. Aufgaben kann ich leider nicht lösen, jedenfalls nicht ohne Hilfe... Dank im Vorraus,
Gruss Cluso.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\sin (\frac{1}{x}).[/mm] Zeigen
> Sie, dass der Grenzwert für x [mm]\to[/mm] 0 nicht existiert, wohl
> aber für x [mm]\to \infty.[/mm]
> Hi,
>
> Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst:
> Es ist: [mm]\lim_{x\to0} \sin(\frac{1}{x})[/mm] = [mm]\lim_{x \to \infty} \sin[/mm]
> x. Da alle Werte des sinus in [-1,1] liegen, und x gegen
> unendlich geht, springt der Wert von -1 zu +1 immer
> schneller hin und her, weshkab er also nicht existieren
> kann. Richtig so?
Das ist doch kein Beweis !!
Der Grenzwert $ [mm] \lim_{x\to 0} \sin(\frac{1}{x}) [/mm] $ ex. genau dann, wenn für jede(!) Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] 0 und [mm] x_n \ne [/mm] 0 für alle n, der Grenzwert
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \sin(\frac{1}{x_n}) [/mm] $ existiert.
Nun betrachte mal [mm] x_n:=\bruch{2}{n* \pi} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
>
> Den 2. Aufgaben kann ich leider nicht lösen, jedenfalls
> nicht ohne Hilfe... Dank im Vorraus,
Wenn $x [mm] \to \infty$, [/mm] so $1/x [mm] \to [/mm] 0$. Was also treibt sin(1/x) für $x [mm] \to \infty$ [/mm] ?
Noch 2 Bemerkungen:
1. nicht "Vorraus" sondern "Voraus".
2. In Deinem Profil steht: Alter: 10-15 · Math. Background: Klasse 7 Gymnasium. Stimmt das ?
FRED
>
> Gruss Cluso.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mi 06.08.2014 | | Autor: | cluso. |
Ok. Wennich das betrachte:
[mm] \lim_{n \to \infty} \sin(\frac{1}{\frac{2}{n \cdot \pi}}) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sin(\frac{n \cdot \pi}{2}) [/mm]
Ok, was genau ist dabei jetzt der Vorteil, was mir entgangen ist...? Ich könnte wieder nur mit dem Intervall [-1,+1] argumentieren. Wenn n gegen unendlich geht, dann auch [mm] \frac{n \cdot \pi}{2}. [/mm]
1. Ja, stimmt. Ergibt mehr Sinn: Vor-aus als Vor-raus
2. Ja auch das stimmt. Eig. geb ich das nicht mehr an, wenn ich mich neu andmelde, aber als ich meinen Acc. hier erstellt hatte, da habe ich solche Daten noch angegeben. Das führt oft zu Unglaubwürdigkeiten, zu anderen Auffassungen usw, ich denk ich werd das auch rausnehmen bald.
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Hallo,
> Ok. Wennich das betrachte:
> [mm]\lim_{n \to \infty} \sin(\frac{1}{\frac{2}{n \cdot \pi}})[/mm]
> = [mm]\lim_{n \to \infty} \sin(\frac{n \cdot \pi}{2})[/mm]
> Ok, was genau ist dabei jetzt der Vorteil, was mir
> entgangen ist...? Ich könnte wieder nur mit dem Intervall
> [-1,+1] argumentieren. Wenn n gegen unendlich geht, dann
> auch [mm]\frac{n \cdot \pi}{2}.[/mm]
Das ist doch nicht der Punkt. Die Folge von FRED wiederholt einfach den Zyklus -1, 0 und 1, 0 , das hat nichts mit irgendeinem Intervall zu tun. Es ist einfach nur ein sauberer Beweis deiner vermutlich richtigen Überlegung.
> 1. Ja, stimmt. Ergibt mehr Sinn: Vor-aus als Vor-raus
> 2. Ja auch das stimmt. Eig. geb ich das nicht mehr an,
> wenn ich mich neu andmelde, aber als ich meinen Acc. hier
> erstellt hatte, da habe ich solche Daten noch angegeben.
> Das führt oft zu Unglaubwürdigkeiten, zu anderen
> Auffassungen usw, ich denk ich werd das auch rausnehmen
> bald.
Das ist Kindergarten, sorry. Die fraglichen Angaben kann man ja auch ändern. Und gerade für den Fall, dass man auch die eine oder andere Frage stellen möchte, sollten diese Angaben möglichst sinnvoll deinen Kenntnisstand beschreiben. Also man ermöglicht doch damit potentiellen Helfern eben diese Hilfe möglichst zielgenau zu geben, warum soll man das dann nicht angeben?
Du musst ja nicht unbedingt angeben, in welche Klasse du gehst bzw. in welchem Semester du bist, sondern auf welchem Niveau du Antworten erwartest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mi 06.08.2014 | | Autor: | cluso. |
Achso, also war meine Überlegung prinzipiell richtig, nur eben nicht "beweisreif"? Und das Beispiel ist ein Gegenbeispiel dafür, dass der Grenzweert nicht existiert, also "Beweis durch Gegenbeispiel"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Achso, also war meine Überlegung prinzipiell richtig, nur
> eben nicht "beweisreif"? Und das Beispiel ist ein
> Gegenbeispiel dafür, dass der Grenzweert nicht existiert,
> also "Beweis durch Gegenbeispiel"?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Sa 09.08.2014 | | Autor: | cluso. |
Ok, und der 2. Aufgabenteil? Der ist ja noch nicht gelöst.
Danke soweit.
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Hallo,
> Ok, und der 2. Aufgabenteil? Der ist ja noch nicht
> gelöst.
> Danke soweit.
Meinst du den Grenzwert für [mm] x->\infty? [/mm] Falls ja: überlege einfach, was 1/x für diesen Fall macht. Außerdem hat FRED dir das längst verraten.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Sa 09.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, und der 2. Aufgabenteil? Der ist ja noch nicht
> gelöst.
In meiner ersten Antwort habe ich dazu etwas geschrieben. Oder etwa nicht ?
FRED
> Danke soweit.
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Hallo cluso,
ergänzend zu Freds Antwort:
Es gilt:
Sei [mm] f:X\to{Y} [/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt für jede konvergente Folge [mm] x_n [/mm] mit Grenzwert [mm] x_0:
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=f(x_0)
[/mm]
Die Sinusfunktion ist stetig! Daher klappt das, was Fred dir als Antwort gab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo cluso,
>
> ergänzend zu Freds Antwort:
>
> Es gilt:
> Sei [mm]f:X\to{Y}[/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt für jede
> konvergente Folge [mm]x_n[/mm] mit Grenzwert [mm]x_0:[/mm]
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=f(x_0)[/mm]
Hallo Richie,
In obigem Fall ist f(x)=sin(1/x).
Im ersten Aufgabenteil ist [mm] x_0=0, [/mm] also gehört [mm] x_0 [/mm] nicht zum Def.- Bereich von f, daher ist [mm] f(x_0) [/mm] sinnlos.
Im zweiten Aufgabenteil ist [mm] "x_0= \infty". [/mm] Dann ist f( [mm] \infty) [/mm] ebenfalls sinnlos.
Gruß FRED
>
> Die Sinusfunktion ist stetig! Daher klappt das, was Fred
> dir als Antwort gab.
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