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Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Di 07.12.2010
Autor: ella87

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert, falls er existiert:

[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) [/mm]

wir haben keine keine Grenzwertsätze in der VL gemacht, deshalb habe ich eine Rückfrage:

[mm]\bruch{1}{x} \to 0 [/mm] für [mm] x \to \infty [/mm]

[mm]\Rightarrow sin\left( \bruch{1}{x} \right) \to 0 [/mm] für [mm] x \to \infty [/mm]

aber [mm] \wurzel{x} [/mm] divergiert für [mm] x \to \infty [/mm]

ist die 0 als Grenzwert "stärker" als [mm] \infty [/mm]?
also konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0 oder ist das was besonderes. wenn ja warum?


        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Di 07.12.2010
Autor: rainerS

Hallo Ella!

> Bestimmen Sie den Grenzwert, falls er existiert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
>  
> wir haben keine keine Grenzwertsätze in der VL gemacht,
> deshalb habe ich eine Rückfrage:
>  
> [mm]\bruch{1}{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow sin\left( \bruch{1}{x} \right) \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm]
>  
> aber [mm]\wurzel{x}[/mm] divergiert für [mm]x \to \infty[/mm]
>  
> ist die 0 als Grenzwert "stärker" als [mm]\infty [/mm]?

Nein, das ist von Fall zu Fall verschieden.

Hier liegt es an der Sinusfunktion. Man könnte sagen, dass [mm] $\sin\left( \bruch{1}{x} \right)$ [/mm] schneller gegen 0 geht als [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$. [/mm]

>  also
> konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0 oder ist das was
> besonderes. wenn ja warum?

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu betrachten.  Häufig nimmt man dazu die Regeln von de l'Hospital.

Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des Grenzwerts [mm] \limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :

Dazu ersetze ich $x=1/y$. Dann geht y von oben (von positiven Werten her) gegen 0.

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm] .

Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm] $\wurzel{y}$ [/mm] gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.

Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm] .


Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Di 07.12.2010
Autor: ella87


>  
> Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu
> betrachten.  Häufig nimmt man dazu die Regeln von de
> l'Hospital.
>  
> Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des
> Grenzwerts [mm]\limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :
>  
> Dazu ersetze ich [mm]x=1/y[/mm]. Dann geht y von oben (von positiven
> Werten her) gegen 0.
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm]
>

das man [mm] x= \bruch{1}{y}[/mm] kann ich nachvollziehen. Dann muss man den Limes gegen 0 laufen lassen, weil [mm] \bruch{1}{y}[/mm] dann gegen [mm] \infty [/mm] geht, stimmts?


> Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm]\wurzel{y}[/mm]
> gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.
>  
> Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm]
> .
>  
>
> Viele Grüße
>     Rainer


vielen Dank!!


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Di 07.12.2010
Autor: MathePower

Hallo ella87,

>
> >  

> > Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Grenzwert zu
> > betrachten.  Häufig nimmt man dazu die Regeln von de
> > l'Hospital.
>  >  
> > Hier gibt's noch einen Trick mit der Anwendung des
> > Grenzwerts [mm]\limes_{x\to 0}\bruch{\sin x}{x} = 1[/mm] :
>  >  
> > Dazu ersetze ich [mm]x=1/y[/mm]. Dann geht y von oben (von positiven
> > Werten her) gegen 0.
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = \limes_{y\to 0+} \bruch{\sin y}{\wurzel{y}} = \limes_{y\to 0+} \wurzel{y} * \bruch{\sin y}{y}[/mm]
> >
>
> das man [mm]x= \bruch{1}{y}[/mm] kann ich nachvollziehen. Dann muss
> man den Limes gegen 0 laufen lassen, weil [mm]\bruch{1}{y}[/mm] dann
> gegen [mm]\infty[/mm] geht, stimmts?
>  


So ist es.


>
> > Jetzt hast du ein Produkt, dessen erster Faktor [mm]\wurzel{y}[/mm]
> > gegen 0 und dessen zweiter Faktor gegen 1 geht.
>  >  
> > Insgesamt ist also [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{x} * sin\left( \bruch{1}{x} \right) = 0[/mm]
> > .
>  >  
> >
> > Viele Grüße
>  >     Rainer
>
>
> vielen Dank!!

>


Gruss
MathePower  

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