Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{\sin x}{x})^{\bruch{1}{1-\cos x}}
[/mm]
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das x geht gegen 0 (kannte den befehl dafür nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo ich hab hier probleme beim knacken von nem grenzwert wäre nett wenn jmnd helfen würde.
ich hab erst den grenzwert [mm] e^{ln} [/mm] & dann weiter den exponenten betrachtet hab dann den l´hopital angewendet bin aber nach dem 2 ten mal anwenden nicht weiter gekommen das sah dann so aus
[mm] \bruch{\bruch{1}{\bruch{\sin x}{x}}(\cos x-\sin x)}{\bruch{1}{\sin x}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfram!
Vielleicht zeigst Du uns mal, wie Du auf dieses Zwischenergebnis gekommen bist. Ich musste insgesamt 3-mal den Herrn de l'Hospital bemühen.
Zudem solltest Du den Ausdruck jedesmal erst weitestgehend zusammenfassen und vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 18.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Wolfram!
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> Vielleicht zeigst Du uns mal, wie Du auf dieses
> Zwischenergebnis gekommen bist. Ich musste insgesamt 3-mal
> den Herrn de l'Hospital bemühen.
>
> Zudem solltest Du den Ausdruck jedeesmal erst weitestgehend
> zusammenfassen und vereinfachen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo,
wenn du unbedingt L'Hospital anwenden willst, so zwingt die keiner, das mit dem kompletten Tern zu tun. Der Grenzwert für sin(x)/x lässt sich leicht als 1 ermitteln, du brauchst also nur noch den zweiten Term zu untersuchen.
Außerdem kommst du völlig ohne L'Hospital aus, wenn du mit 1+cos(x) erweiterst und das entstehende sin^2x mit dem sinx kürzt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
danke erstmal an euch beide für die prompten antworten
ich schreib mal die rechenschritte auf und das ergebniss bin mir aber nicht ganz sicher
[mm] \bruch{1}{1-cosx} ln\bruch{sinx}{x}=(l´ho)
[/mm]
[mm] \bruch{ \bruch{1}{\bruch{sinx}{x}}*cosx*x-sinx}{-sinx} [/mm]
für [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] ist der grenzwert =1 so bleibt noch der term
[mm] \bruch{cosx*x}{-sinx}(l´ho)
[/mm]
[mm] \bruch{cosx-sinx*x-cosx}{-cosx}=0
[/mm]
richtig?
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Hallo Wolfram,
Davon, dass der GW [mm] $\lim\limits_{\red{x}\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm] ist, kannst du dich auf mehrere Arten überzeugen.
Schnell geht's mit de l'Hôpital:
Bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ erhältst du den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also kannst du de l'Hôpital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten:
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\left[\sin(x)\right]'}{[x]'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{1}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
Alternativ kannst du auch die Potenzreihe des Sinus hinschreiben (wenn du sie schon hattest) und x rauskürzen, dann den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ machen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
danke
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Hallo nochmal,
> danke erstmal an euch beide für die prompten antworten
> ich schreib mal die rechenschritte auf und das ergebniss
> bin mir aber nicht ganz sicher
>
> [mm]\bruch{1}{1-cosx} ln\bruch{sinx}{x}=(l´ho)[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \bruch{1}{\bruch{sinx}{x}}*cosx*x-sinx}{-sinx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier fehlen zum einen Klammern, zum anderen fehlt ein [mm] /x^2
[/mm]
Richtig ist [mm] $\frac{\frac{1}{\frac{\sin(x)}{x}}\cdot{}\left(\frac{\cos(x)\cdot{}x-\sin(x)}{\red{x^2}}\right)}{\red{+}\sin(x)}$
[/mm]
Das vereinfache mal, dann bekommst du beim Grenzübergang wieder einen unbestimmten Ausdruck, also nochmal ran mit de l'Hôpital...
>
> für [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] ist der grenzwert =1 so bleibt noch
> der term
>
> [mm]\bruch{cosx*x}{-sinx}(l´ho)[/mm]
>
> [mm]\bruch{cosx-sinx*x-cosx}{-cosx}=0[/mm]
>
>
> richtig?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Wolfram |
dann steht da [mm] \bruch{cos(x)*x-sin(x)}{x}
[/mm]
und der grenzwert ist =-1
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Hallo nochmal,
> dann steht da [mm]\bruch{cos(x)*x-sin(x)}{x}[/mm]
Nein, rechne deine "Vereinfachung" mal vor ...
> und der grenzwert ist =-1
?? Der GW des obigen Ausdrucks für [mm] $x\to [/mm] 0$ ist 0
Zur Kontrolle: ich erhalte für den GW des Exponenten [mm] $-\frac{1}{3}$, [/mm] also insgesamt GW [mm] $e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{e^3}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Hallo nochmal,
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> > dann steht da [mm]\bruch{cos(x)*x-sin(x)}{x}[/mm]
>
> Nein, rechne deine "Vereinfachung" mal vor ...
>
> > und der grenzwert ist =-1
>
> ?? Der GW des obigen Ausdrucks für [mm]x\to 0[/mm] ist 0
>
> Zur Kontrolle: ich erhalte für den GW des Exponenten
> [mm]-\frac{1}{3}[/mm], also insgesamt GW
> [mm]e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{e^3}[/mm]
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Hoffe, du meinst
[mm]e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]e}[/mm] ;)
vlg
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Hallo,
> > Hallo nochmal,
> >
> > > dann steht da [mm]\bruch{cos(x)*x-sin(x)}{x}[/mm]
> >
> > Nein, rechne deine "Vereinfachung" mal vor ...
> >
> > > und der grenzwert ist =-1
> >
> > ?? Der GW des obigen Ausdrucks für [mm]x\to 0[/mm] ist 0
> >
> > Zur Kontrolle: ich erhalte für den GW des Exponenten
> > [mm]-\frac{1}{3}[/mm], also insgesamt GW
> > [mm]e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{e^3}[/mm]
> >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Hoffe, du meinst
> [mm]e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]e}[/mm] ;)
> vlg
Ja, wollte auch eigentlich [mm] \frac{1}{e^\frac{1}{3}}$ [/mm] schreiben, habe aber den Bruch im Exponenten verschlabbert.
Danke fürs Aufpassen!
LG
schachuzipus
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> Hallo,
> wenn du unbedingt L'Hospital anwenden willst, so zwingt
> dich keiner, das mit dem kompletten Term zu tun. Der
> Grenzwert für sin(x)/x lässt sich leicht als 1 ermitteln,
> du brauchst also nur noch den zweiten Term zu untersuchen.
Hi Abakus,
Du meinst wohl
[mm] $\limes_{x\to0}\left(a(x)^{b(x)}\right)\ [/mm] =\ [mm] \left(\limes_{x\to0}a(x)\right)^{\limes_{x\to0}b(x)}$
[/mm]
Mit einer solchen "Regel" (die eigentlich
gar keine ist !) sollte man aber zumindest
sehr vorsichtig sein ...
Parade-Gegenbeispiel:
[mm] $\limes_{x\to0}(1+x)^{1/x}
[/mm]
Gruß Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
Hallo erstmal.
Zur Bestimmung dieses Grenzwertes würde ich alle auftretenden Größen für kleine x entwickeln
[mm]
\limes_{x\rightarrow 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} =\limes_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{x^2}{6}\right)^{\frac{2}{x^2}} = \limes_{y\rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{6y}\right)^{2y} = \exp(-\frac{1}{3})
[/mm]
wobei [mm] $y=\frac{1}{x^2}$ [/mm] gesetzt wurde. Is vielleicht ned ganz sauber formuliert, aber sollte als "educated guess" reichen.
Vlg
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