Grassmann - Identität < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 19.06.2015 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | Verifizieren Sie die Grassmann-Identität
u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w
für
u = (2,−2,1,) v = ( 2,5,14 ) w = (4,4,−2)
Wie kann man diese Aussage interpretieren (wie liegt u × (v × w) in Bezug auf v,w)? |
Was versteht man unter Grassman - Identität ?
Und was heißt Verifizieren ?
Ich habe meiner Idee nach für u, v und w die Vektoren eingesetzt und gerechnet.
Ist das, das Verifizieren ?
u = (2,−2,1,) v = ( 2,5,14 ) w = (4,4,−2)
u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w
[mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times [/mm] ( [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 14} \times \vektor{4 \\ 4 \\ -2} [/mm] ) =( [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] ) [mm] *\vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] - ( [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] ) * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
= u [mm] \times [/mm] 0 = (v*w)*v - (u*v)*w
[mm] =\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \vektor{0\\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ -40 \\-28}- \vektor{16 \\ -40\\ -28}
[/mm]
= 0=0
Ist das richtig so ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 19.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Verifizieren Sie die Grassmann-Identität
> u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w für
> u = (2,−2,1) v = ( 2,5,14 ) w = (4,4,−2)
>
> Wie kann man diese Aussage interpretieren (wie liegt u × (v × w) in Bezug auf v,w)?
Schau auf die rechte Seite. Da steht eine Linearkombination von v und w. Welches geometrisches Gebilde wird durch alle möglichen dieser Linarkombinationen von v und w beschrieben?
Zum Vergleich kannst Du es auch "zu Fuß" machen: v x w steht senkrecht auf v und auf w. das Ergebnis von u × (v × w ) steht wiederum senkrecht auf diesem.
> Was versteht man unter Grassman - Identität ?
Die Gleichung u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w heißt Grassmann - Identität.
> Und was heißt Verifizieren ?
Zeigen dass es stimmt.
>
> Ich habe meiner Idee nach für u, v und w die Vektoren eingesetzt und gerechnet.
> Ist das, das Verifizieren ?
Wenn am Ende der Rechnung herauskommt, dass es stimmt, ja.
>
> u = (2,−2,1) v = ( 2,5,14 ) w = (4,4,−2)
>
> u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w
Die Gleichheit sollst Du zeigen. Dafür rechnest Du beide Seiten getrennt aus.
>
>
Für die linke Seite:
[mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \left( \vektor{2 \\ 5 \\ 14} \times \vektor{4 \\ 4 \\ -2} \right) =\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
Das ist aber falsch gerechnet. Ich befürchte, dass Du das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt genannt, nicht kennst. Du musst also erst die Bedeutung des Rechenzeichens x klären und üben, bevor Du an dieser Aufgabe weiter arbeiten kannst.
Für die rechte Seite
( [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] ) [mm]*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] - ( [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] ) * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm]
Du setzt immer nur u ein, obwohl da auch w und v stehen müssen. Das musst Du vor einer Rechnung erst einmal richtig hinschreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 20.06.2015 | | Autor: | Jura86 |
Gut ich werde dann mal besser erst andere Aufgabe lösen dann komme ich zu dieser zurück.
Bis bald.!!
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