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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 25.11.2013 | | Autor: | HMU |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen z [mm] \varepsilon \IC [/mm] der Gleichung
[mm] (z+i)^{3}=-8
[/mm]
in der Form a+bi mit a,b [mm] \varepsilon \IR [/mm] an. |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Leider fehlt mir ein Lösungsansatz. Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Geben Sie alle Lösungen z [mm]\varepsilon \IC[/mm] der Gleichung
>
> [mm](z+i)^{3}=-8[/mm]
>
> in der Form a+bi mit a,b [mm]\varepsilon \IR[/mm] an.
> Hallo,
> ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Leider fehlt
> mir ein Lösungsansatz. Kann mir jemand helfen?
Hm, das ist schwierig. Also die Lösung hinzuschreiben, das wäre natürlich leicht, aber dir so zu helfen, dass du danach eine solche Gleichung selbst hinbekommst, dazu sind das für meinen Geschmack zu wenig Infos.
Wenn man solche Aufgaben bekommt, dann wurde oder wird gerade die Potenzrechnung im Komplexen eingeführt. Und sorry, dass ich das mal wieder loswerden muss (es betrifft ja immer mehr Fragesteller hier). Dann ist ein solcher Satz:
> Leider fehlt
> mir ein Lösungsansatz.
für mich mit gewissen Glaubwürdigkeitsproblemen behaftet. Und bitte betrachte das jetzt nicht als Angriff, sondern als konstruktive Kritik.
Immerhin wäre es naheliegend gewesen, die Potenz auf der linken Seite per Binom einfach auszumultiplizieren um hernach einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.
Einfacher geht es, wenn man die (mehrdeutige) Wurzelfunktion im Komplexen kennst. Eine relle Kubikwurzel der -8 sollte aus der Schule bekannt sein. Zwei weitere komplexe Lösungenm liegen ebenfalls auf dem Kreis um 0 mit [mm] r=\wurzel[3]{2} [/mm] und zwar so, dass die drei Wurzeln diesen Kreis in drei Sektoren mit 120° bzw. [mm] 2\pi/3 [/mm] einteilen.
Der übliche Weg ist aber sicherlich, mit z=x+iy in die Klammer einzugehen und diese auszumultiplizieren. Dabei muss man nooch [mm] i^2=-1 [/mm] beachten!
Gruß, Diophant
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Hallo,
kleine Ergänzung:
ihr solltet doch die Moivreformel kennengelernt haben bzw. wissen, wie man die n-ten Wurzeln berechnet:
Mit [mm]z=x+iy=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}[/mm], wobei [mm]r=|x+iy|[/mm] und [mm]\varphi=\operatorname{arg}(x+iy)[/mm] berechnen sich die n-ten Wurzeln
[mm]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot{}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}i}[/mm], [mm]k=0,1,2,...,n-1[/mm]
Du bekommst also n-1 Lösungen
Hier setze [mm]w=z+i[/mm], dann musst du die dritten Wurzeln [mm]w^3=-8[/mm] berechnen:
[mm]w_k=...[/mm] für [mm]k=0,1,2[/mm]
Du bekommst also drei Werte.
Alternativ kannst du - wie Diophant schon angedeutet hat - die eine reelle Lösung [mm]w=...[/mm] ablesen und als Linearfaktor abspalten, was auf eine quadratische Gleichung führt, für die es ja stadtbekannte Lösungsansätze gibt.
Von dem Ansatz, [mm]z=x+iy[/mm] zu setzen und wild auszumultiplizieren, würde ich persönlich abraten - das ist nicht schön 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 25.11.2013 | | Autor: | HMU |
Die Moivreformel an sich kenne ich, jedoch benötige ich hier ja zunächst die Zahl in Polarkoordinaten.
Dabei stellt sich aber immer die Frage welchen Winkel ich nun nehmen soll. Diesen muss man ja prinzipiell in einer Winkeltabelle nachschauen. Also muss ich hier einen Winkel finden für den sin x =0 und cos x = -8.
Wie finde ich nun aber diesen Winkel?
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Hallo nochmal,
> Die Moivreformel an sich kenne ich, jedoch benötige ich
> hier ja zunächst die Zahl in Polarkoordinaten.
> Dabei stellt sich aber immer die Frage welchen Winkel ich
> nun nehmen soll. Diesen muss man ja prinzipiell in einer
> Winkeltabelle nachschauen. Also muss ich hier einen Winkel
> finden für den sin x =0 und cos x = -8.
Wie soll das denn gehen, der Cosinus ist doch beschränkt, hast du je einen Cosinuswert <-1 gesehen??
> Wie finde ich nun aber diesen Winkel?
Nun, du suchst das Argument von [mm]w^3=(z+i)^3=-8[/mm]
Wo liegt denn [mm]-8[/mm] im Koordinatensystem?
Doch auf der negativen reellen Achse.
Das schließt also mit der pos. reellen Achse einen Winkel von [mm]\pi[/mm] ein, das kannst du einfach ablesen und brauchst keine Formel ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 25.11.2013 | | Autor: | HMU |
Vielen Dank !
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