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| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] im Punkt 0 stetig und es gelte [mm] f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2}) [/mm] für alle [mm] x_{1}, x_{2} \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass f dann auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist. Ist f auch gleichmäßig stetig auf [mm] \IR? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich brauche mal eure Hilfe bzw. einen Tipp, wie ich weiter vorgehen kann bei der Aufgabe. Die Stetigkeit habe ich bereits nachgewiesen, nur bei der gleichmäßigen Stetigkeit komme ich nicht so ganz weiter.
Die Stetigkeit wurde folgendermaßen nachgewiesen:
f ist in 0 stetig.
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
[mm] \gdw [/mm] 0=f(0)
Da f in 0 stetig ist, gilt für [mm] x\in\IR \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x)=f(0)=0
Sei [mm] x_{0}\in\IR [/mm] bel. und [mm] (y_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge, dann gilt für [mm] x_{n}:=x_{0}+y_{n}: [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=x_{0} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{0}+y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{0})+\limes_{n\rightarrow\infty}f(y_{n})=f(x_{0})+f(0)=f(x).
[/mm]
Nun ist die Frage, ob f auch gleichmäßig stetig ist. Meine erste Überlegung war, den Satz von Heine anzuwenden, aber das habe ich wieder verworfen, da [mm] \IR [/mm] nicht kompakt ist.
Um mit der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit arbeiten zu können, habe ich noch gezeigt, dass [mm] f(x_{1}-x_{2})=f(x_{1})-f(x_{2}) [/mm] gilt.
Wenn man mit der Definition arbeitet, müsste man zeigen, dass aus [mm] |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich leider nicht weiter und habe ein Brett vor dem Kopf. Ich sehe einfach nicht wie man von [mm] |x_{1}-x_{2}|<\delta |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon [/mm] folgern kann.
Vielleicht hat jemand ja einen Tipp für mich. Würde mich über jede Hilfe freuen und danke schon mal im Voraus :)
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Hiho,
um die Frage vorab "erschlagend" zu beantworten:
$f(x+y) = f(x) + f(y)$ ist eine der ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Funktionalgleichungen und alle stetigen Lösungen davon haben die Form $f(x) = ax, a [mm] \in \IR$.
[/mm]
Diese sind offensichtlich gleichmäßig stetig.
Kann man das auch zeigen ohne die Lösung zu kennen?
Na du warst ja schon auf einem guten Weg:
Zu zeigen ist: $|x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für eine geeignete Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] zu gegebenem [mm] $\varepsilon$
[/mm]
Du weißt bereits: f ist stetig in Null, geschrieben als [mm] $\epsilon-\delta$-Kriterium [/mm] bedeutet das ja: $|z| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(z)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Na nun setze $z=x-y$, verwende das von dir gezeigte $f(x-y) = f(x) - f(y)$ und du bist fertig…
Gruß,
Gono
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Hey Gonozal_IX,
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Das klingt irgendwie recht simpel, aber da bin ich bis jetzt nicht drauf gekommen 😅 Dann sind alle meine Fragen beantwortet :)
Schönen Abend noch :)
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