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Gleichmäßige Stetigkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Do 14.07.2016
Autor: Magehex

Aufgabe
Eine Funktion [mm] $f:(X,d_X) \rightarrow (Y,d_Y)$ [/mm] von metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig, falls für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $x,x'\in [/mm] X$ mit [mm] $d_X(x,x')<\delta$ [/mm] folgt [mm] $d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon$. [/mm] Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Metrik $d:X [mm] \times [/mm] X  [mm] \rightarrow [0,\infty)$ [/mm] gleichmäßig stetig ist. Man betrachte dabei [mm] $[0,\infty)$ [/mm] mit der induzierten Betragsmetrik

Hallo,

ich sitze schon ewig vor dieser Aufgabe und komm einfach nicht weiter. Es ist doch zu zeigen: Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass gilt: Aus $d(x,x') < [mm] \delta$ [/mm] und $d(y,y') < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon$, [/mm] das heißt $d(x,y) [mm] \leq [/mm] d(x',y') + [mm] \varepsilon$ [/mm] und analog $d(x',y') [mm] \leq [/mm] d(x,y) + [mm] \varepsilon$ [/mm]
Und dafür muss ich die Dreiecksungleichung bzw. Symmetrie ausnutzen um d(x,y) nach oben abzuschätzen.

Also
[mm] $2d(x',y')=2|x'-y'|=|(x'-y)+(y-y')+(x-y')+(x'-x)|\le |x-y|+|y-x|+|x'-y'|+|x'-y'|+\epsilon= 2(|x-y|+|x'-y'|)+\epsilon [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] <=>0\le |x-y|+\frac{\epsilon}{2}$ [/mm]

Oder ist das kompletter Unsinn was ich hier mache?

Vielen Dank.

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Do 14.07.2016
Autor: fred97


> Eine Funktion [mm]f:(X,d_X) \rightarrow (Y,d_Y)[/mm] von metrischen
> Räumen heißt gleichmäßig stetig, falls für jedes
> [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]x,x'\in X[/mm]
> mit [mm]d_X(x,x')<\delta[/mm] folgt [mm]d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon[/mm]. Sei
> [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Metrik [mm]d:X \times X \rightarrow [0,\infty)[/mm]
> gleichmäßig stetig ist. Man betrachte dabei [mm][0,\infty)[/mm]
> mit der induzierten Betragsmetrik
>  Hallo,
>  
> ich sitze schon ewig vor dieser Aufgabe und komm einfach
> nicht weiter. Es ist doch zu zeigen: Für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm], sodass gilt: Aus
> [mm]d(x,x') < \delta[/mm] und [mm]d(y,y') < \delta[/mm] folgt
> [mm]|d(x,y)-d(x',y')| < \epsilon[/mm], das heißt [mm]d(x,y) \leq d(x',y') + \varepsilon[/mm]
> und analog [mm]d(x',y') \leq d(x,y) + \varepsilon[/mm]
>  Und dafür
> muss ich die Dreiecksungleichung bzw. Symmetrie ausnutzen
> um d(x,y) nach oben abzuschätzen.
>  
> Also
>  [mm]$2d(x',y')=2|x'-y'|=|(x'-y)+(y-y')+(x-y')+(x'-x)|\le |x-y|+|y-x|+|x'-y'|+|x'-y'|+\epsilon= 2(|x-y|+|x'-y'|)+\epsilon[/mm]

Das ist doch Unsinn ! d ist doch nicht der Betrag !


>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]<=>0\le |x-y|+\frac{\epsilon}{2}$[/mm]
>  
> Oder ist das kompletter Unsinn was ich hier mache?

Ja.

Tipp:

Vierecksungleichung:

|d(x,y)−d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y')

FRED

>  
> Vielen Dank.


Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Do 14.07.2016
Autor: Magehex

Danke für den Tipp, aber ich verstehs noch immer nicht.

Was muss jetzt mit der Vierecksgleichung getan werden? Ich verstehe das Ziel irgendwie nicht.

Und die Betragsmetrik ist doch d(x,y)=|x-y| oder nicht?
Nur mit diesem d(x,y) kann ich doch nicht ordentlich arbeiten? Ich muss das doch irgendwie zerlegen?

Soll ich diesen Betrag der Vierecksungleichung auflösen?

$
Also für alle d(x',y')>d(x,y) folgt aus der Vierecksungleichung

d(x',y')<= d(x,x')+d(y,y')+d(x,y)

und für d(x,y)>d(x',y')

d(x,y)<=d(x,x')+d(y,y')+d(x',y')
$
Aber da ich nichts mit diesen d(x,x') und d(y,y') machen kann bringt mir das doch nichts?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Do 14.07.2016
Autor: fred97


> Danke für den Tipp, aber ich verstehs noch immer nicht.
>  
> Was muss jetzt mit der Vierecksgleichung getan werden? Ich
> verstehe das Ziel irgendwie nicht.
>  
> Und die Betragsmetrik ist doch d(x,y)=|x-y| oder nicht?
>  Nur mit diesem d(x,y) kann ich doch nicht ordentlich
> arbeiten? Ich muss das doch irgendwie zerlegen?

Du hast die Abbildung  

(*) $ d:X [mm] \times [/mm] X [mm] \rightarrow [0,\infty) [/mm] $

Dabei ist der metrische Raum X mit der Metrik d versehen und der metrische Raum [mm] [0,\infty) [/mm] mit dem Betrag.

Zeigen sollst Du , dass die Abbildung in (*) gleichmäßig stetig ist. Zu zeigen ist also:

   Für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $, sodass gilt: aus $ d(x,x') < [mm] \delta [/mm] $ und $ d(y,y') < [mm] \delta [/mm] $ folgt $ |d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon [/mm] $


Dabei benutzen wir die Vierecksungl.:

  (V)    |d(x,y)-d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y') .

Ist [mm] \epsilon [/mm] >0, so folgt aus (V), dass $|d(x,y)-d(x',y')|< [mm] \epsilon$ [/mm] ist, wenn

(**)  $ d(x,x') + d(y,y')< [mm] \epsilon$ [/mm]

ist.

Ist also  d(x,x')< [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm]  und auch  d(y,y')< [mm] \bruch{\epsilon}{2}, [/mm] so gilt (**) und damit auch

      $|d(x,y)-d(x',y')|< [mm] \epsilon$. [/mm]

Wie ist also [mm] \delta [/mm] zu wählen ?

FRED

>  
> Soll ich diesen Betrag der Vierecksungleichung auflösen?
>  
> $
>  Also für alle d(x',y')>d(x,y) folgt aus der
> Vierecksungleichung
>  
> d(x',y')<= d(x,x')+d(y,y')+d(x,y)
>  
> und für d(x,y)>d(x',y')
>  
> d(x,y)<=d(x,x')+d(y,y')+d(x',y')
>  $
>  Aber da ich nichts mit diesen d(x,x') und d(y,y') machen
> kann bringt mir das doch nichts?
>  
> Danke


Bezug
                                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Do 14.07.2016
Autor: Magehex

Für [mm] $\delta$ [/mm] ist [mm] $\frac{\epsilon}{2} [/mm] zu wählen.

Warum vertauscht du eigentlich bei [mm] $d(x,x')<\delta$ [/mm] und $d(y,y')$ die [mm] $|d(x,y)-d(x',y')|<\epsilon$ [/mm]

Warum folgt nicht aus [mm] $d(x,x')<\delta$ [/mm] und $d(y,y') dass [mm] $|d(x,x')-d(y,y')|<\epsilon$ [/mm] ?

Danke

Bezug
                                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Do 14.07.2016
Autor: fred97


> Für [mm]$\delta$[/mm] ist [mm]$\frac{\epsilon}{2}[/mm] zu wählen.

Ja


>  
> Warum vertauscht du eigentlich bei [mm]d(x,x')<\delta[/mm] und
> [mm]d(y,y')[/mm] die [mm]|d(x,y)-d(x',y')|<\epsilon[/mm]
>  
> Warum folgt nicht aus [mm]$d(x,x')<\delta$[/mm] und $d(y,y') dass
> [mm]$|d(x,x')-d(y,y')|<\epsilon$[/mm] ?

Wie oft noch ?

Zu zeigen ist :

   Für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $, sodass gilt: aus $ d(x,x') < [mm] \delta [/mm] $ und $ d(y,y') < [mm] \delta [/mm] $ folgt $ |d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon [/mm] $

FRED

>  
> Danke


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