Gew. Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 23.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Ermitteln Sie für folgendes Störglied einen Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomgenen Differentialgleichung.
| Aufgabe | y''+2y'+y=g(x)
[mm] g(x)=2*e^x+cosx [/mm] |
Habe für die Homogene Lösung [mm] x_h= c_1*e^{-x}+c_2x*e^{-x} [/mm] herausbekommen.
Aber welchen Ansatz wähle ich für die Partikuläre Lösung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 23.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y''+2y'+y=2*e^x+cosx[/mm]
>
>
> Habe für die Homogene Lösung [mm]x_h= c_1*e^{-x}+c_2x*e^{-x}[/mm]
> herausbekommen.
> Aber welchen Ansatz wähle ich für die Partikuläre
> Lösung?
Bestimme eine partikuläre Lösung [mm] y_1 [/mm] von [mm]y''+2y'+y=2*e^x[/mm] und bestimme eine partikuläre Lösung [mm] y_2 [/mm] von [mm]y''+2y'+y= \cos x[/mm].
Dann ist [mm] $y_p:= y_1+y_2$ [/mm] eine partikuläre Lösung von [mm]y''+2y'+y=2*e^x+ \cos x[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 23.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Ah ok. Ich habe als Lösung [mm] y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm] herausbekommen.
Allerdings stimmt dies nicht mit der Lösung überein die mir mein Prof gegegen hat.
Die Lösung lautet da so:
c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der charakteristischen Gleichung => [mm] y_p [/mm] = A * [mm] e^x [/mm] + B sinx + C*cos x
Habe keine Ahnung wieso da diese Lösung angegeben ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Do 23.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> Ah ok. Ich habe als Lösung
> [mm]y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2}[/mm]
> herausbekommen.
Das stimmt, [mm] y_p(x)=\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm] ist eine spezielle Lösung, wie man sofort nachrechnen kann.
>
> Allerdings stimmt dies nicht mit der Lösung überein die
> mir mein Prof gegegen hat.
Das ist ja auch kein Wunder, eine spezielle Lösung ist nicht eindeuteig bestimmt !
Z.B. sind
[mm] y=e^{-x}+xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2}
[/mm]
oder
[mm] y=2020e^{-x}-1234567xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2}
[/mm]
ebenfalls spezielle Lösungen der DGL.
>
> Die Lösung lautet da so:
> c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der
> charakteristischen Gleichung => [mm]y_p[/mm] = A * [mm]e^x[/mm] + B sinx +
> C*cos x
>
> Habe keine Ahnung wieso da diese Lösung angegeben ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Fr 24.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Aber dann stimmt da diese Lösung? :
c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der
charakteristischen Gleichung => $ [mm] y_p [/mm] $ = A * $ [mm] e^x [/mm] $ + B sinx + C*cos x
Woher kommt da jß = j?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Fr 24.04.2020 | | Autor: | leduart |
Hallo
gemeint ist j also die imaginäre Einheit mt [mm] j\beta [/mm] vielleicht -j oder einfach ein vielfaches von j? da da ja steht [mm] j\beta [/mm] =j ist [mm] \beta=1
[/mm]
Gruß ledum
|
|
|
|
