Geometrische Reihe. Grenzwe. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Ganz |
Hi, ich habe schwierigkeiten mit der folgenden aufgabe
Der Sierpinski-teppich
a) zeichne ein blaues quadrat das eine kantenlänge von 27 kästchen hat, in dein heft und berechne den flächeninhalt.
b) zeichne das quadrat erneut und uneterteile es in neun gleich große quadrate. färbe nun alle quadrate blau bis auf das mittlere. Wie groß ist nun die gefärbte flächeninhalt?
c) im nächsten schritt zeichnest du das quadrat noch einmal. unterteile nun jedes der acht blauen quadrate aus b) wieder in neun teilquadrate. diese kleineren quadrate färbst du wieder blau und lässt erneut das mittlere weiß. welchen inhalt hat die gefärbte fläche?
Bis hierhin ist das kein Problem. Nur jetzt kommt die eigentliche aufgabe:
Stellen Sie sich vor, dass der Prozess des Herausschneidens von Quadraten unbegrenzt iteriert wird. Berechnen Sie mit
Mitteln der Analysis (Geometrische Reihe), wie groß der weiße und
der blaue Flächenanteil im Grenzfall ist.
Ich weiß nicht wie ich da die geometrische Reihe anwenden soll. Die Grenze müssten doch 0 sein, weil die Flächen immer kleiner werden. Aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal die ersten paar Schritte für die weisen Flächen berechnet? vielleich siehst du es einfacher wenn du mit Seitenlänge 1 statt 27 arbeitest, dann hast du direkt Brüche und fängst mit 1/9 an. blau sind dann 8/9 von denen wird 1/9 wieder weiss und ... bleiben blau
wenn du es nach 3 schriten nicht erkennst dann nach 4.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 22.11.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke. Dann ist die blaue FLäche immer 8/9 und die weiße immer 1/9. also ist im Grenzfall Blau= 8/9 und weiß=1/9. ich soll das jetzt mit der geometrischen Reihe zeigen. Muss ich dafür für q einmal 1/9 und einmal 8/9 einsetzen?
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Hallo Ganz,
hast du leduarts Tipp eigentlich mal befolgt?
Ich nenne die blaue Fläche im n-ten Schritt mal [mm] b_n [/mm] und die weiße entsprechend [mm] w_n.
[/mm]
Am Anfang steht [mm] b_0=729=9^3 [/mm] und [mm] w_0=0.
[/mm]
Nach dem 1. Schritt: [mm] b_1=\bruch{8}{9}*9^3 [/mm] und [mm] w_1=\bruch{1}{9}*9^3
[/mm]
2. Schritt: [mm] b_2=\left(\bruch{8}{9}\right)^2*9^3 [/mm] und [mm] w_2=\bruch{1}{9}*9^3+\bruch{1}{9}*\bruch{8}{9}*9^3
[/mm]
3. Schritt: [mm] b_3=\left(\bruch{8}{9}\right)^3*9^3 [/mm] und [mm] w_2=\bruch{1}{9}*9^3+\bruch{1}{9}*\bruch{8}{9}*9^3+\bruch{1}{9}*\left(\bruch{8}{9}\right)^2*9^3
[/mm]
So, und jetzt machst Du mal den 4. Schritt und stellst dann ein allgemeines Bildungsgesetz für [mm] b_n [/mm] und [mm] w_n [/mm] auf.
Ein Tipp: [mm] b_n+w_n=b_0
[/mm]
Damit kannst Du übrigens auch den Grenzwert ganz ohne geometrische Reihe bestimmen, aber da es die Aufgabe nunmal von Dir verlangt, wirst Du also [mm] w_n [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] darüber bestimmen müssen.
Noch ein Tipp: [mm] w_{n+1}=w_n+\bruch{1}{9}b_n
[/mm]
Grüße
reverend
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