Gamma-Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | V = [mm] C^1([0,1]), [/mm] darauf sind die [mm] \Gamma_i [/mm] : V [mm] \to \IR [/mm] defininiert:
[mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1)
[/mm]
i = 1,2,3,4
j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.
[mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen sie:
$p(x) = [mm] f(0)N_1(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_2(x) [/mm] + [mm] f(1)N_3(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_4(x)$
[/mm]
erfüllt [mm] \Gamma_i(f) [/mm] = [mm] \Gamma_i(p). [/mm] |
Guten abend,
zu der Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Das Skript stellt die Gamma-Funktion kurz vor, danach geht es mit dem nächsten Kapitel weiter.
Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich die Funktion auf das Polynom anwenden soll. Mein Ansatz wäre folgender:
[mm] $\Gamma_1(p) [/mm] = f(0) [mm] \Gamma_1(N_1(x)) [/mm] + [mm] f'(0)\Gamma_1(N_2(x)) [/mm] + [mm] f(1)\Gamma_1(N_3(x)) [/mm] + [mm] f'(0)\Gamma_1(N_4(x))$
[/mm]
Und damit wären alle Summanden 0, ausser [mm] $f(0)\Gamma_1(N_1(x))$ [/mm] und ich hätte
[mm] $\Gamma_1(p) [/mm] = f(0) $
analog dann für 2-4. Bleiben die f(0), f'(0) unberührt wenn ich die Funktion anwende?
Und wie kann ich anschließend meine [mm] $N_j$ [/mm] bestimmen?
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>
> [mm]\Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen sie:
>
> [mm]p(x) = f(0)N_1(x) + f'(0)N_2(x) + f(1)N_3(x) + f'(0)N_4(x)[/mm]
>
> erfüllt [mm]\Gamma_i(f)[/mm] = [mm]\Gamma_i(p).[/mm]
> Guten abend,
>
> zu der Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Das Skript
> stellt die Gamma-Funktion kurz vor, danach geht es mit dem
> nächsten Kapitel weiter.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich die Funktion auf das
> Polynom anwenden soll. Mein Ansatz wäre folgender:
>
> [mm]\Gamma_1(p) = f(0) \Gamma_1(N_1(x)) + f'(0)\Gamma_1(N_2(x)) + f(1)\Gamma_1(N_3(x)) + f'(0)\Gamma_1(N_4(x))[/mm]
>
> Und damit wären alle Summanden 0, ausser
> [mm]f(0)\Gamma_1(N_1(x))[/mm] und ich hätte
>
> [mm]\Gamma_1(p) = f(0)[/mm]
>
> analog dann für 2-4. Bleiben die f(0), f'(0) unberührt
> wenn ich die Funktion anwende?
Da Du über die [mm] \Gamma_j [/mm] nur wenig verraten hast, kann man Dir diese Frage nicht beantworten.
Wenn [mm] \Gamma_j [/mm] linear ist, so funktioniert das so, wie Du es oben gemacht hast.
>
> Und wie kann ich anschließend meine [mm]N_j[/mm] bestimmen?
Auch diese Frage kann man mit den spärlichen Informationen nicht beantworten.
FRED
>
> lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
Danke fred für die die Antwort!
V = [mm] C^1([0,1]), [/mm] darauf sind die [mm] \Gamma_i [/mm] : V [mm] \to \IR [/mm] defininiert.
i = 1,2,3,4
j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.
Mehr ist nicht gegeben.
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke fred für die die Antwort!
>
> V = [mm]C^1([0,1]),[/mm] darauf sind die [mm]\Gamma_i[/mm] : V [mm]\to \IR[/mm]
> defininiert.
Wie sind die definiert ????
FRED
>
> i = 1,2,3,4
>
> j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.
>
> Mehr ist nicht gegeben.
>
> lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
> Wie sind die definiert ????
wie im Eingangspost bereits beschrieben:
$ [mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm] $
Und die Vorlesung sagt zu
[mm] \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
[/mm]
[mm] \Gamma(x+1):= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}
[/mm]
Ich habe meinen Eingangspost dahingehend nochmal ediert.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Wie sind die definiert ????
>
> wie im Eingangspost bereits beschrieben:
>
> [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>
> Und die Vorlesung sagt zu
>
> [mm]\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)[/mm]
> [mm]\Gamma(x+1):= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm]
ich denke, dass die Gamma-Funktion mit den obigen [mm] \Gamma_j [/mm] nix zu tun hat.
FRED
>
> Ich habe meinen Eingangspost dahingehend nochmal ediert.
>
> lg moody
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Hallo,
ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo siehst du den?
Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:
Was ist [mm] $N_j$ [/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades sein, was genau?
Und du hast zwei Definitionen für die [mm] $\Gamma_i$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
> Hallo,
>
> ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo
> siehst du den?
Parameterintegrale & die Gamma-Funktion sind das Thema der zugehörigen Vorlesung, und die Funktionale sind mit [mm] \Gamma [/mm] benannt.
> Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:
> Was ist [mm]N_j[/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades sein,
> was genau?
p(x)
> Und du hast zwei Definitionen für die [mm]\Gamma_i[/mm].
Wo das?
Also mir ist hier selbst nicht wirklich klar was nun was sein soll, ich finde die Aufgabe gibt einem nicht gerade viele Informationen.
So wie ich die Lage sehe:
Es gibt eine Funktion f(x), mit den Bedinungen [mm] \Gamma_i
[/mm]
Dazu weiß ich das ein Polynom 3. Grades diese Bedingungen erfüllen soll. Was mir die Definition [mm] \Gamma_i(N_j) [/mm] nun genau helfen soll weiß ich auch nicht. Ich denke es soll auf darauf hinaus laufen, dass das Polynom die Funktion in den genannten Punkten fitted.
lg moody
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> > Hallo,
> >
> > ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo
> > siehst du den?
> Parameterintegrale & die Gamma-Funktion sind das Thema der
> zugehörigen Vorlesung, und die Funktionale sind mit [mm]\Gamma[/mm]
> benannt.
Nun die Funktionale sind mit [mm] $\Gamma_i$ [/mm] benannt und es sind reellwertige Funktionale. Die Gamma-Funktion ist eine Abb. von den komplexen Zahlen in die komplexen. Mit der selben Begründung könnte ich auch sagen, dass p hier wär eine Primzahl weil man Primzahlen immer mit p schreibt.
> > Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:
> > Was ist [mm]N_j[/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades
> sein,
> > was genau?
> p(x)
Und was ist denn jetzt [mm] $N_j$?
[/mm]
> > Und du hast zwei Definitionen für die [mm]\Gamma_i[/mm].
> Wo das?
>
$ [mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm] $
und
$ [mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases} [/mm] $
> Also mir ist hier selbst nicht wirklich klar was nun was
> sein soll, ich finde die Aufgabe gibt einem nicht gerade
> viele Informationen.
>
Ich glaube eher du bist es der die Informationen nicht richtig wiedergibst.
> So wie ich die Lage sehe:
>
> Es gibt eine Funktion f(x), mit den Bedinungen [mm]\Gamma_i[/mm]
>
> Dazu weiß ich das ein Polynom 3. Grades diese Bedingungen
> erfüllen soll. Was mir die Definition [mm]\Gamma_i(N_j)[/mm] nun
> genau helfen soll weiß ich auch nicht. Ich denke es soll
> auf darauf hinaus laufen, dass das Polynom die Funktion in
> den genannten Punkten fitted.
>
> lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | Es sei V = [mm] C^1([0,1]). [/mm] Auf dem Intervall [0,1] seien 4 Funktionale [mm] \Gamma_i: [/mm] V [mm] \to \IR, [/mm] i = 1,2,3,4 definiert durch (Vergleiche Vorlesung):
[mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1)
[/mm]
Die kanonische Basis [mm] N_j, [/mm] j=1,2,3,4 der Polynome vom Grad 3 bezüglich der gewählten Funktionale [mm] \Gamma_i, [/mm] i=1,2,3,4 ist definiert durch
[mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie
$p(x) = [mm] f(0)N_1(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_2(x) [/mm] + [mm] f(1)N_3(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_4(x)$
[/mm]
erfüllt [mm] \Gamma_i(f) [/mm] = [mm] \Gamma_i(p) [/mm] i=1,2,3,4. |
edit: Ich sehe gerade, dass ich Eingangs [mm] N_j [/mm] nicht als Basis beschrieben habe ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
lg moody
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Damit macht das ganze Sinn.
Und die Aufgabe ziemlich banal: Die [mm] $\Gamma_i$ [/mm] sind linear(!) und damit steht die Gleichheit eigentlich schon da.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
> Damit macht das ganze Sinn.
> Und die Aufgabe ziemlich banal: Die [mm]\Gamma_i[/mm] sind
> linear(!) und damit steht die Gleichheit eigentlich schon
> da.
Vielen Dank und ich entschuldigung für die unnötige Verwirrung durch die unvollständige Aufgabenstellung.
lg moody
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V = [mm]C^1([0,1]).[/mm] Auf dem Intervall [0,1] seien 4
> Funktionale [mm]\Gamma_i:[/mm] V [mm]\to \IR,[/mm] i = 1,2,3,4 definiert
> durch (Vergleiche Vorlesung):
> [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>
> Die kanonische Basis [mm]N_j,[/mm] j=1,2,3,4 der Polynome vom Grad 3
> bezüglich der gewählten Funktionale [mm]\Gamma_i,[/mm] i=1,2,3,4
> ist definiert durch
> [mm]\Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie
>
> [mm]p(x) = f(0)N_1(x) + f'(0)N_2(x) + f(1)N_3(x) + f'(0)N_4(x)[/mm]
>
> erfüllt [mm]\Gamma_i(f)[/mm] = [mm]\Gamma_i(p)[/mm] i=1,2,3,4.
>
>
> edit: Ich sehe gerade, dass ich Eingangs [mm]N_j[/mm] nicht als
> Basis beschrieben habe
>
> lg moody
Warum nicht gleich so ??????
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mo 10.02.2014 | | Autor: | moody |
> Warum nicht gleich so ??????
Ich hatte das Übungsblatt nicht zur Hand und habe aus meinem Ordner abgeschrieben ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
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