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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Polstellen, sowie die Grenzwerte für [mm] $x\to+ \infty$ [/mm] und [mm] $x\to [/mm] - [mm] \infty$.
[/mm]
Gegebene Funktion: $f(x)= [mm] \bruch{7x+5}{x^2+4x+3}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{-3,-1\} [/mm] $ |
Hallo, ich habe mal wieder eine kleine Unklarheit.
Für den Grenzwert gegen Unendlich habe ich die Regeln von L'Hospital verwendet und bin auf 0 gekommen. Darf man die Regel in diesem Fall verwenden?
Mir ist klar, dass eine Funktion an den Polstellen gegen $+- [mm] \infty [/mm] $ strebt, doch wie notiere ich sowas? Und wie stelle ich fest, ob der Grenzwert $+ [mm] \infty [/mm] $ oder $- [mm] \infty [/mm] $ ist, ohne genau zu wissen, wie die Funktion aussieht?
Vielen Dank!
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Hallo,
> Untersuchen Sie die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an
> den Polstellen, sowie die Grenzwerte für [mm]x\to+ \infty[/mm] und
> [mm]x\to - \infty[/mm].
> Gegebene Funktion: [mm]f(x)= \bruch{7x+5}{x^2+4x+3}[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR \setminus \{-3,-1\}[/mm]
> Hallo, ich habe
> mal wieder eine kleine Unklarheit.
>
> Für den Grenzwert gegen Unendlich habe ich die Regeln von
> L'Hospital verwendet und bin auf 0 gekommen. Darf man die
> Regel in diesem Fall verwenden?
das darf man tun, und das Ergebnis ist richtig. Es geht aber einfacher:
[mm]\limes_{|x|\rightarrow\infty} \bruch{7x+5}{x^2+4x+3}=\limes_{|x|\rightarrow\infty} \bruch{x*\left(7+\bruch{5}{x}\right)}{x^2*\left(1+\bruch{4}{x}+\bruch{3}{x^2}\right)}=\limes_{|x|\rightarrow\infty} \bruch{\left(7+\bruch{5}{x}\right)}{x*\left(1+\bruch{4}{x}+\bruch{3}{x^2}\right)}=0[/mm]
>
> Mir ist klar, dass eine Funktion an den Polstellen gegen [mm]+- \infty[/mm]
> strebt, doch wie notiere ich sowas? Und wie stelle ich
> fest, ob der Grenzwert [mm]+ \infty[/mm] oder [mm]- \infty[/mm] ist, ohne
> genau zu wissen, wie die Funktion aussieht?
Du musst die Umgebung um die POlstellen untersuchen und dich diesen dabei jeweils einmal vin links und einmal von rechts annähern. In einer unmittelbaren Umgebung wird f dabei ein bestimmtes Vorzeichen besitzen. Dieses bestimmt dann, 'wo es lang geht'.
Bsp:
[mm] x{\rightarrow}-3^{-} \Rightarrow f(x)\rightarrow-\infty
[/mm]
da hier mit Sicherheit der Zähler negativ, der Nenner jedoch positiv ist, was man der faktorisierten Form des Nenners [mm] x^2+4*x+3=(x+3)*(x+1) [/mm] auch unmittelbar ansehen kann.
Die restlichen drei Betrachtungen kannst du jetzt auf die selbe Art und Weise durchführen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Vielen Dank soweit.
Somit ergibt sich:
[mm] \limes_{x\rightarrow-3 ; x>-3} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-1 ; x>-1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-1 ; x<-1} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Die letzten zwei sind laut Musterlösung aber in verkehrter Reihenfolge. Warum ist das so? Bei $x<-1$ wäre doch der Nenner positiv, der Zähler jedoch negativ, woraus [mm] $-\infty$ [/mm] folgen würde.
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Hallo,
> Vielen Dank soweit.
> Somit ergibt sich:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow-3 ; x>-3}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1 ; x>-1}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-1 ; x<-1}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> Die letzten zwei sind laut Musterlösung aber in verkehrter
> Reihenfolge. Warum ist das so? Bei [mm]x<-1[/mm] wäre doch der
> Nenner positiv, der Zähler jedoch negativ, woraus [mm]-\infty[/mm]
> folgen würde.
nein, setze doch in den faktorisierten Nenner ein:
Nimm etwa h>0 und betrachte
(-1-h+3)*(-1-h+1)
Das ist in der Nähe von -1 ebenfalls negativ (wegen der 2. Klammer).
Gruß, Diophant
EDIT:
Und wenn du es mit der limes-Schreibweise schreiben föchtest, dann muss da auch noch stehen, von was der Limes berechnet wird. ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Scheinbar stehe ich auf dem Schlauch.
Für ein beliebiges h>0 steht dann doch in der linken Klammer ein negativer Wert und in der rechten Klammer ein negativer Wert. Multipliziert also positiv.
Das mit der Funktion hinter dem Limes ist mir bekannt und wird hier aus Faulheit weggelassen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Scheinbar stehe ich auf dem Schlauch.
>
> Für ein beliebiges h>0 steht dann doch in der linken
> Klammer ein negativer Wert und in der rechten Klammer ein
> negativer Wert. Multipliziert also positiv.
Für positives, aber "kleines" h ist
(2-h)(-h)<0
FRED
>
> Das mit der Funktion hinter dem Limes ist mir bekannt und
> wird hier aus Faulheit weggelassen ;)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Ciotic |
Alles klar, vielen Dank für Eure Hilfe!
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