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Funktionen: stetig und nicht diff'bar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mo 23.05.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die durch
f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] definierte Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, aber in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] differenzierbar ist.

Hallo,

zur Stetigkeit:

Es gilt [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx [/mm] - [mm] sin2^nx_0)| [/mm]

Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] finden.
Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier weiterzukommen.

Zur Differenzierbarkeit:

durch die h-Methode folgt:

[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \limes_{h\rightarrow0}((\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h}) [/mm]

Auch hier weiß ich gerade nicht wie ich weitermachen soll.

Kann mir hier jemand helfen?

Viele Grüße
Anil

        
Bezug
Funktionen: Stetigkeit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mo 23.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeigen Sie, dass die durch
>  f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
>  Hallo,
>  
> zur Stetigkeit:
>  
> Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|\ =\ |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx\ -\ sin2^nx_0)|[/mm]
>
> Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> finden.
>  Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> weiterzukommen.


Hallo Anil

ein Tipp zum Beweis der Stetigkeit:

Zerlege die Reihe in eine endliche Summe und eine Restreihe:

        [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}.......\ [/mm] \ =\ \ [mm] \underbrace{\summe_{n=1}^{N}.......}_{S(N)}\ [/mm] \ +\ [mm] \underbrace{\summe_{n=N+1}^{\infty}.......} [/mm] _{R(N)}$

und zeige dann, dass S(N) für jedes [mm] N\in\IN [/mm]  stetig ist und dass

       [mm] $\limes_{N\to\infty}R(N)\ [/mm] =\ 0$

ist und dass man aus beidem zusammen auf die Stetigkeit der
gesamten Funktion f schließen kann.

LG  ,    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> > Zeigen Sie, dass die durch
>  >  f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> > definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> > aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
>  >  Hallo,
>  >  
> > zur Stetigkeit:
>  >  
> > Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|\ =\ |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx\ -\ sin2^nx_0)|[/mm]
> >
> > Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> > finden.
>  >  Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> > die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> > weiterzukommen.
>  
>
> Hallo Anil
>  
> ein Tipp zum Beweis der Stetigkeit:
>  
> Zerlege die Reihe in eine endliche Summe und eine
> Restreihe:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}.......\ \ =\ \ \underbrace{\summe_{n=1}^{N}.......}_{S(N)}\ \ +\ \underbrace{\summe_{n=N+1}^{\infty}.......} _{R(N)}[/mm]
>  
> und zeige dann, dass S(N) für jedes [mm]N\in\IN[/mm]  stetig ist
> und dass
>  
> [mm]\limes_{N\to\infty}R(N)\ =\ 0[/mm]
>
> ist und dass man aus beidem zusammen auf die Stetigkeit
> der
>  gesamten Funktion f schließen kann.

Hallo Al,

das ist aber nur richtig, wenn die vorgelegte Funktionenreihe auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert.

Das tut sie ! Aber dann bekommt man die Stetigkeit einfacher (s. meine Antwort).

Gruß FRED

>  
> LG  ,    Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die durch
>  f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
>  Hallo,
>  
> zur Stetigkeit:
>  
> Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] =
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx[/mm] -
> [mm]sin2^nx_0)|[/mm]
>
> Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> finden.

Uii , uii , ich glaube Du bist mit dem Stetigkeitsbegriff ein wenig auf Kriegsfuß.

  zu vorgegebenem [mm]\varepsilon >0[/mm] muss ein [mm] \delta [/mm] >0 gefunden werden mit: blablablubber...

Wie lautet denn blablablubber ?


>  Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> weiterzukommen.

Es geht ohne [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] ....

Die Reihe  $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] $ konvergiert auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig, denn

   [mm] $|\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] | [mm] \le (\bruch{2}{3})^n [/mm] $  für alle n und alle x.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{2}{3})^n [/mm] ist konvergent.

Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium ist dann   $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] $  auf [mm] \IR [/mm] glm. konvergent.

Da die Funktionen $ x [mm] \mapsto \bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}$ [/mm]  stetig sind, folgt daraus die Stetigkeit von f.

Zur Differenzierbarkeit:

diesen Aufgabenteil halte ich für viel zu schwer für eine Übungsaufgabe.

Deshalb : google "stetig aber nicht differenzierbar beispiel"

FRED

>  
> Zur Differenzierbarkeit:
>  
> durch die h-Methode folgt:
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \limes_{h\rightarrow0}((\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h})[/mm]
>  
> Auch hier weiß ich gerade nicht wie ich weitermachen
> soll.
>  
> Kann mir hier jemand helfen?
>  
> Viele Grüße
>  Anil


Bezug
                
Bezug
Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mo 23.05.2016
Autor: anil_prim

Stetigkeit:

[mm] \forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall x\in [/mm] D [mm] |z-z_0|<\delta |f(z)-f(z_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Eigentlich ist mir Stetigkeit schon klar, dachte ich..

Bei Google finde ich nur das Beispiel zur Differenzierbarkeit, aber nicht den Beweis..

Bezug
                        
Bezug
Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Stetigkeit:
>  
> [mm]\forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall x\in[/mm] D
> [mm]|z-z_0|<\delta |f(z)-f(z_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

Besser:

    [mm]\forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall z\in[/mm] D [mm]|z-z_0|<\delta \Rightarrow |f(z)-f(z_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]



>  
> Eigentlich ist mir Stetigkeit schon klar, dachte ich..
>  
> Bei Google finde ich nur das Beispiel zur
> Differenzierbarkeit, aber nicht den Beweis..

Das stimmt nicht. Wahrscheinlich bist Du bei Wiki hängengeblieben.

FRED


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