Fragen vor Klausur < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle :) Ich hoffe Ihr hattet einen schönen Valentinstag :)
Ich schreibe heute Abend eine Klausur und habe noch letzte Fragen.
Die Aufgaben werden so, wie unten beschrieben, aussehen.
Aufgabe 1:
Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
Steppenhahn hat mir prima an einem Beispiel erklärt, wie ich diesen Aufgabentyp lösen kann. Jetzt habe ich aber noch einige Fragen.
1.Frage:
Muss ich (bei dieser Aufgabenstellung) eigentlich schreiben bzw. überprüfen, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist?
2.Frage:
Sobald das Intervall halboffen ist, also zum Beispiel [-2,2[ muss ich nur den Randpunkt -2 betrachten (spricht man bei 2 eigentlich auch von einem Randpunkt?) und 2 nicht.
Angenommen der Funktionswert steigt in diesem Bereich, also für die Argumente 1.9, 1.99 1.999.. wird der Funktionswert immer größer. Also egal wie nah ich an die 2 gehe, ich finde immer ein neues Maximum. Muss ich das nicht in meine Lösung einfließen lassen? Denn in dem Intervall befindet/befinden sich in diesem Bereich ja irgendwie Maxima.
3.Frage:
Nachdem ich die 1.Ableitung bestimmt habe, muss ich diese gleich Null setzten, um potenzielle Exremstellen zu bestimmen.
Gibt es hier eigentlich Tricks oder nützliche "Methoden", um die Gleichung zu lösen?
Ich kenne nur die PQ-Formel.
Falls die Ableitung eine Funktion 3.Grades ist, muss ich auch noch die Polynomdivision beherrschen, oder?
Gibt es sonst noch etwas nützliches?
4.Frage:
Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem Randpunkt ein lokales Extremum vor. Ob es auch ein globales ist, prüfe ich, indem ich die Funktionswerte mit denen der inneren Extrema vergleiche.
Richtig?
Aufgabe 2:
Bestimme folgende Grenzwerte: ... (mitunter [mm] arctan,arcsin,cos,e^x,ln(x)..etc. [/mm] )
Hierzu habe ich viele Übungen gemacht.
Jetzt aber noch eine Frage zur Schreibweise:
Beispiel: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{e^x}[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*x^{n-1}}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*(n-1)*x^{n-2}}{e^x} = ... = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*(n-1)*...2*1*x^{0}}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n!}{e^x} = 0[/mm]
5.Frage:
Würde das die volle Punktzahl geben?
Oder soll ich noch nach oder über das Gleichheitszeichen schreiben, dass man l'Hospital anwenden kann, weil der Zähler gegen .. und der Nenner gegen .. geht?
6.Frage:
Steppenhahn hat mir den Satz von l'Hospital super erklärt.
Ich habe nur eine Frage zu dieser Aussage:
> "Es gibt den Satz von L'Hospital, der es ermöglicht, Grenzwerte zu > berechnen, wenn der Fall[mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] vorliegt."
In einer anderen Quelle, steht dass es für den Fall [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{?}{\infty}[/mm], wobei das Fragezeichen für einen beliebigen Wert steht, möglich sei l'Hospital anzuwenden.
Stimmt das?
Vielen lieben Dank, für jede Antwort :)
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Fr 15.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lisa,
> Valentinstag :)
>
> Ich schreibe heute Abend eine Klausur und habe noch letzte
> Fragen.
> Die Aufgaben werden so, wie unten beschrieben, aussehen.
>
> Aufgabe 1:
>
> Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
>
>
> Steppenhahn hat mir prima an einem Beispiel erklärt, wie
> ich diesen Aufgabentyp lösen kann. Jetzt habe ich aber
> noch einige Fragen.
>
> 1.Frage:
>
> Muss ich (bei dieser Aufgabenstellung) eigentlich schreiben
> bzw. überprüfen, dass die Funktion stetig und
> differenzierbar ist?
Dazu schreiben, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist,
empfielt sich auf alle Fälle, besonders wenn Du Ableitungen benutzt, da
es zeigt, dass Du diese Voraussetzung kennst,
und eine kurze Begründung in der Du Dich auf Sätze oder
Zusammensetzung aus einfachen Funktionen beziehst.
>
> 2.Frage:
>
> Sobald das Intervall halboffen ist, also zum Beispiel
> [-2,2[ muss ich nur den Randpunkt -2 betrachten (spricht
> man bei 2 eigentlich auch von einem Randpunkt?) und 2
> nicht.
> Angenommen der Funktionswert steigt in diesem Bereich, also
> für die Argumente 1.9, 1.99 1.999.. wird der Funktionswert
> immer größer. Also egal wie nah ich an die 2 gehe, ich
> finde immer ein neues Maximum. Muss ich das nicht in meine
> Lösung einfließen lassen? Denn in dem Intervall
> befindet/befinden sich in diesem Bereich ja irgendwie
> Maxima.
In diesem Fall kann man einen Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 2} [/mm] f(x) = [mm] \infty$
[/mm]
angeben. Dies ist aber kein Maximum. (Vergleiche Definition)
>
> 3.Frage:
>
> Nachdem ich die 1.Ableitung bestimmt habe, muss ich diese
> gleich Null setzten, um potenzielle Exremstellen zu
> bestimmen.
> Gibt es hier eigentlich Tricks oder nützliche "Methoden",
> um die Gleichung zu lösen?
> Ich kenne nur die PQ-Formel.
> Falls die Ableitung eine Funktion 3.Grades ist, muss ich
> auch noch die Polynomdivision beherrschen, oder?
Ja.
> Gibt es sonst noch etwas nützliches?
Wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens ein Faktor Null sein.
Nullstellen von trigonometrischen Funktionen (bzw. nicht vorhandene
Nullstellen von Exponentialfunktion) kennen, falls so was vorkommt.
>
> 4.Frage:
>
> Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem
> Randpunkt ein lokales Extremum vor. Ob es auch ein globales
> ist, prüfe ich, indem ich die Funktionswerte mit denen der
> inneren Extrema vergleiche.
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Aufgabe 2:
>
> Bestimme folgende Grenzwerte: ... (mitunter
> [mm]arctan,arcsin,cos,e^x,ln(x)..etc.[/mm] )
>
> Hierzu habe ich viele Übungen gemacht.
> Jetzt aber noch eine Frage zur Schreibweise:
>
> Beispiel: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{e^x}[/mm] mit
> [mm]n \in \IN[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^n}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*x^{n-1}}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*(n-1)*x^{n-2}}{e^x} = ... = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n*(n-1)*...2*1*x^{0}}{e^x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{n!}{e^x} = 0[/mm]
>
>
> 5.Frage:
>
> Würde das die volle Punktzahl geben?
> Oder soll ich noch nach oder über das Gleichheitszeichen
> schreiben, dass man l'Hospital anwenden kann, weil der
> Zähler gegen .. und der Nenner gegen .. geht?
Unbedingt dazu schreiben, dass l'Hospital angewendet wird.
>
> 6.Frage:
>
> Steppenhahn hat mir den Satz von l'Hospital super
> erklärt.
> Ich habe nur eine Frage zu dieser Aussage:
>
> > "Es gibt den Satz von L'Hospital, der es ermöglicht,
> Grenzwerte zu > berechnen, wenn der Fall[mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] vorliegt."
>
> In einer anderen Quelle, steht dass es für den Fall
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{?}{\infty}[/mm], wobei das Fragezeichen
> für einen beliebigen Wert steht, möglich sei l'Hospital
> anzuwenden.
> Stimmt das?
Ja.
Falls das Fragezeichen eine Zahl aus [mm] $\IR \\ \{0\}$ [/mm] ist,
reicht es ja den Grenzwert zu betrachten.
>
> Vielen lieben Dank, für jede Antwort :)
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
>
>
>
Viel Glück und Erfolg bei der Klausur.
Gruß
meili
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Guten Morgen Meili :)
Und vielen lieben Dank, dass du dir Zeit genommen hast und mir alle Fragen beantwortet hast ![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
> > Aufgabe 1:
> >
> > Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
> > 1.Frage:
> >
> > Muss ich (bei dieser Aufgabenstellung) eigentlich schreiben
> > bzw. überprüfen, dass die Funktion stetig und
> > differenzierbar ist?
> Dazu schreiben, dass die Funktion stetig und
> differenzierbar ist,
> empfielt sich auf alle Fälle, besonders wenn Du
> Ableitungen benutzt, da
> es zeigt, dass Du diese Voraussetzung kennst,
> und eine kurze Begründung in der Du Dich auf Sätze oder
> Zusammensetzung aus einfachen Funktionen beziehst.
Okay.
Ich glaube es wird einfach eine ganzrationale Funktion sein.
Das diese in ihrer ganzen Definitionsmenge stetig und differenzierbar sind, ist doch eine allgemeine Eigenschaft. Muss ich das noch erklären bzw. wie sollte ich das schreiben?
> > 3.Frage:
> >
> > Nachdem ich die 1.Ableitung bestimmt habe, muss ich diese
> > gleich Null setzten, um potenzielle Exremstellen zu
> > bestimmen.
> > Gibt es hier eigentlich Tricks oder nützliche
> "Methoden",
> > um die Gleichung zu lösen?
> > Ich kenne nur die PQ-Formel.
> > Falls die Ableitung eine Funktion 3.Grades ist, muss
> ich
> > auch noch die Polynomdivision beherrschen, oder?
> Ja.
> > Gibt es sonst noch etwas nützliches?
> Wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens ein Faktor Null
> sein.
Kann ich dazu bitte ein Beispiel haben?
> Viel Glück und Erfolg bei der Klausur.
Dankeschön Meili :)
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 15.02.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> Guten Morgen Meili :)
> Und vielen lieben Dank, dass du dir Zeit genommen hast und
> mir alle Fragen beantwortet hast
>
>
> > > Aufgabe 1:
> > >
> > > Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
>
> > > 1.Frage:
> > >
> > > Muss ich (bei dieser Aufgabenstellung) eigentlich schreiben
> > > bzw. überprüfen, dass die Funktion stetig und
> > > differenzierbar ist?
>
> > Dazu schreiben, dass die Funktion stetig und
> > differenzierbar ist,
> > empfielt sich auf alle Fälle, besonders wenn Du
> > Ableitungen benutzt, da
> > es zeigt, dass Du diese Voraussetzung kennst,
> > und eine kurze Begründung in der Du Dich auf Sätze
> oder
> > Zusammensetzung aus einfachen Funktionen beziehst.
>
> Okay.
> Ich glaube es wird einfach eine ganzrationale Funktion
> sein.
> Das diese in ihrer ganzen Definitionsmenge stetig und
> differenzierbar sind, ist doch eine allgemeine Eigenschaft.
> Muss ich das noch erklären bzw. wie sollte ich das
> schreiben?
ich kann mir nicht vorstellen, dass Du in der Klausur noch begründen mußt, dass ein Polynom stetig bzw. differenzierbar ist.
Wenn doch: ein Polynom ist dei Summe von stetigen (differenzierbaren ) Funktionen.
Wenn dem Korrektor auch das noch nicht reicht, so sag ihm (ihr), dass man ja nicht bei Adam und Eva anfangen kann mit den Begründungen.
>
> > > 3.Frage:
> > >
> > > Nachdem ich die 1.Ableitung bestimmt habe, muss ich diese
> > > gleich Null setzten, um potenzielle Exremstellen zu
> > > bestimmen.
> > > Gibt es hier eigentlich Tricks oder nützliche
> > "Methoden",
> > > um die Gleichung zu lösen?
> > > Ich kenne nur die PQ-Formel.
> > > Falls die Ableitung eine Funktion 3.Grades ist, muss
> > ich
> > > auch noch die Polynomdivision beherrschen, oder?
> > Ja.
> > > Gibt es sonst noch etwas nützliches?
>
> > Wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens ein Faktor Null
> > sein.
>
> Kann ich dazu bitte ein Beispiel haben?
Es ist (für x>-1)
[mm] $x*e^x+e^x*x*ln(x+1)=0 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm]
[mm] $x*e^x(1+ln(x+1))=0$ \gdw [/mm]
[mm] x*e^x=0 [/mm] oder ln(x+1)+1=0 [mm] \gdw
[/mm]
x=0 oder [mm] x=\bruch{1}{e}-1
[/mm]
FRED
>
>
> > Viel Glück und Erfolg bei der Klausur.
>
> Dankeschön Meili :)
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Fr 15.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Schönen guten Morgen, Fred :)
> > Okay.
> > Ich glaube es wird einfach eine ganzrationale Funktion
> > sein.
> > Das diese in ihrer ganzen Definitionsmenge stetig und
> > differenzierbar sind, ist doch eine allgemeine Eigenschaft.
> > Muss ich das noch erklären bzw. wie sollte ich das
> > schreiben?
>
> ich kann mir nicht vorstellen, dass Du in der Klausur noch
> begründen mußt, dass ein Polynom stetig bzw.
> differenzierbar ist.
>
> Wenn doch: ein Polynom ist dei Summe von stetigen
> (differenzierbaren ) Funktionen.
>
> Wenn dem Korrektor auch das noch nicht reicht, so sag ihm
> (ihr), dass man ja nicht bei Adam und Eva anfangen kann mit
> den Begründungen.
Okay :)
> > > > 3.Frage:
> > > >
> > > > Nachdem ich die 1.Ableitung bestimmt habe, muss ich diese
> > > > gleich Null setzten, um potenzielle Exremstellen zu
> > > > bestimmen.
> > > > Gibt es hier eigentlich Tricks oder nützliche
> > > "Methoden",
> > > > um die Gleichung zu lösen?
> > > > Ich kenne nur die PQ-Formel.
> > > > Falls die Ableitung eine Funktion 3.Grades ist,
> muss
> > > ich
> > > > auch noch die Polynomdivision beherrschen, oder?
> > > Ja.
> > > > Gibt es sonst noch etwas nützliches?
> >
> > > Wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens ein Faktor Null
> > > sein.
> >
> > Kann ich dazu bitte ein Beispiel haben?
>
> Es ist (für x>-1)
>
> [mm]x*e^x+e^x*x*ln(x+1)=0[/mm] [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]x*e^x(1+ln(x+1))=0[/mm] [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]x*e^x=0[/mm] oder ln(x+1)+1=0 [mm]\gdw[/mm]
>
> x=0 oder [mm]x=\bruch{1}{e}-1[/mm]
Ah jetzt habe ich es verstanden, soetwas hatten wir auch schon in der Schule, nur ohne e-Funktion und Logarithmus :P
Dankeschön Fred
Liebe Grüße,
Lisa
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> Wenn dem Korrektor auch das noch nicht reicht, so sag ihm
> (ihr), dass man ja nicht bei Adam und Eva anfangen kann mit
> den Begründungen.
Jaaaaa ... und falls doch, wäre noch ein
Existenzbeweis für Adam und Eva erforderlich !
 Al
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> > 2.Frage:
> >
> > Sobald das Intervall halboffen ist, also zum Beispiel
> > [-2,2[ muss ich nur den Randpunkt -2 betrachten (spricht
> > man bei 2 eigentlich auch von einem Randpunkt?) und 2
> > nicht.
> > Angenommen der Funktionswert steigt in diesem Bereich, also
> > für die Argumente 1.9, 1.99 1.999.. wird der Funktionswert
> > immer größer. Also egal wie nah ich an die 2 gehe, ich
> > finde immer ein neues Maximum. Muss ich das nicht in meine
> > Lösung einfließen lassen? Denn in dem Intervall
> > befindet/befinden sich in diesem Bereich ja irgendwie
> > Maxima.
> In diesem Fall kann man einen Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} f(x) = \infty[/mm] angeben. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Dies ist aber kein Maximum.
Hallo,
daraus, dass eine Funktion $\ f$ z.B. auf dem Intervall [-2,2[
streng monoton steigend ist, kann man nicht schließen,
dass [mm]\limes_{x\rightarrow 2} f(x) \ =\ \infty[/mm]
Auch die Funktion $\ [mm] f:\,x\mapsto [/mm] x$ erfüllt die Bedingung,
bleibt aber beschränkt, und es ist [mm]\limes_{x\rightarrow 2} f(x)\ =\ 2[/mm]
Diese Funktion hat kein (lokales oder globales) Maximum,
aber eine endliche obere Schranke.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> 4.Frage:
>
> Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem Randpunkt ein lokales Extremum vor.
Hallo Lisa,
dies ist falsch. Gegenbeispiel:
[mm] $f\colon [0,1]\to\IR$ [/mm] mit $f(0)=0$ und [mm] $f(x)={x^2}\sin \frac [/mm] 1 x$ für $x [mm] \ne 0\,.$
[/mm]
Dieses $f$ ist stetig, aber bei 0 liegt kein lokales Extremum vor.
Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen aber keine lokalen Extrema sein: Beispiel: Die Ableitung von [mm] $x\mapsto x^3$ [/mm] hat bei Null eine Nullstelle aber kein lokales Extremum.
In jedem Fall mußt Du die Randpunkte und die Nullstellen der ersten Ableitung überprüfen.
viel Erfolg,
Wolfgang
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Hallo und guten Morgen, Wolfgang :)
Danke für die Antwort :)
>
> > 4.Frage:
> >
> > Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem
> Randpunkt ein lokales Extremum vor.
>
> Hallo Lisa,
>
> dies ist falsch. Gegenbeispiel:
>
> [mm]f\colon [0,1]\to\IR[/mm] mit [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]f(x)={x^2}\sin \frac 1 x[/mm]
> für [mm]x \ne 0\,.[/mm]
>
> Dieses [mm]f[/mm] ist stetig, aber bei 0 liegt kein lokales Extremum
> vor.
>
> Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> aber keine lokalen Extrema sein
Und was ist der Unterscheid zwischen Extrema und lokalem Extrema?
Meint man mit Extrema "globales Minimum/Maximum" ?
Obwohl das ja nicht sein kann, denn ein globales Minimum/Maxium ist gleichzeitig ein lokales.
Also was meinst du mit
"
> "Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> aber keine lokalen Extrema sein"
?
Und wieso nur "können"?
Ich dachte ich kann immer davon ausgehen, dass an den Randpunkten Extrema vorliegen, denn mit dem notwenigen Kriterium kann ich es ja nicht nachweisen, wie soll ich es denn sonst machen?
: Beispiel: Die Ableitung
> von [mm]x\mapsto x^3[/mm] hat bei Null eine Nullstelle aber kein
> lokales Extremum.
Aber auch nur nicht, weil die 2.Ableitung an dieser Stelle gleich Null ist, oder?
Was wäre, wenn das Intervall [0,2] ist?
Bei x=0 ist doch der Funktionswert am kleinsten, also sogar globales Minimum meiner Meinung nach?
> In jedem Fall mußt Du die Randpunkte und die Nullstellen
> der ersten Ableitung überprüfen.
> viel Erfolg,
> Wolfgang
Dankeschön Wolfgang :)
Liebe Grüße,
Lisa
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> Hallo und guten Morgen, Wolfgang :)
> Danke für die Antwort :)
>
> >
> > > 4.Frage:
> > >
> > > Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem
> > Randpunkt ein lokales Extremum vor.
> >
> > Hallo Lisa,
> >
> > dies ist falsch. Gegenbeispiel:
> >
> > [mm]f\colon [0,1]\to\IR[/mm] mit [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]f(x)={x^2}\sin \frac 1 x[/mm]
> > für [mm]x \ne 0\,.[/mm]
> >
> > Dieses [mm]f[/mm] ist stetig, aber bei 0 liegt kein lokales Extremum
> > vor.
> >
> > Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> > Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> > aber keine lokalen Extrema sein
>
> Und was ist der Unterscheid zwischen Extrema und lokalem
> Extrema?
> Meint man mit Extrema "globales Minimum/Maximum" ?
> Obwohl das ja nicht sein kann, denn ein globales
> Minimum/Maxium ist gleichzeitig ein lokales.
hier geht es nur um die unterscheidung das eine stelle ein mögliches extremum sein kann, es aber deswegen nicht sein muss .. dafür ja das bsp [mm] $x^3$
[/mm]
>
> Also was meinst du mit
> "
> > "Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> > Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> > aber keine lokalen Extrema sein"
> ?
>
> Und wieso nur "können"?
> Ich dachte ich kann immer davon ausgehen, dass an den
> Randpunkten Extrema vorliegen, denn mit dem notwenigen
> Kriterium kann ich es ja nicht nachweisen, wie soll ich es
> denn sonst machen?
du musst das hinreichende kriterium benutzen. mit dem notwendigen (erste ableitung 0) überprüfst du ja nur ob es sich um eine MÖGLICHE extremalstelle handelt. ist das hinreichende kriterium nicht erfüllt, so ist die MÖGLICHE extremalstelle eben keine extremalstelle. siehe [mm] $x^3$
[/mm]
>
> : Beispiel: Die Ableitung
> > von [mm]x\mapsto x^3[/mm] hat bei Null eine Nullstelle aber kein
> > lokales Extremum.
>
> Aber auch nur nicht, weil die 2.Ableitung an dieser Stelle
> gleich Null ist, oder?
Das hinreichende kriterium ist in diesem bsp nicht erfüllt, deshalb keine extremalstelle. nun kannst du allerdings untersuchen ob es sich um eine wendestelle handelt ...
>
> Was wäre, wenn das Intervall [0,2] ist?
> Bei x=0 ist doch der Funktionswert am kleinsten, also
> sogar globales Minimum meiner Meinung nach?
>
für die funktion [mm] $x^3$ [/mm] stimmt das. wie du siehst hängen deine überlegungen vom betrachtetem intervall ab.
> > In jedem Fall mußt Du die Randpunkte und die Nullstellen
> > der ersten Ableitung überprüfen.
>
>
> > viel Erfolg,
> > Wolfgang
>
> Dankeschön Wolfgang :)
>
> Liebe Grüße,
> Lisa
ich hoffe es hilft ;)
lg scherzkrapferl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Helbig |
>
> Hallo und guten Morgen, Wolfgang :)
> Danke für die Antwort :)
>
> >
> > > 4.Frage:
> > >
> > > Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem
> > Randpunkt ein lokales Extremum vor.
> >
> > Hallo Lisa,
> >
> > dies ist falsch. Gegenbeispiel:
> >
> > [mm]f\colon [0,1]\to\IR[/mm] mit [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]f(x)={x^2}\sin \frac 1 x[/mm]
> > für [mm]x \ne 0\,.[/mm]
> >
> > Dieses [mm]f[/mm] ist stetig, aber bei 0 liegt kein lokales Extremum
> > vor.
> >
> > Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> > Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> > aber keine lokalen Extrema sein
>
> Und was ist der Unterscheid zwischen Extrema und lokalem
> Extrema?
Extrema ist der Oberbegriff. So wie Kuchen und Apfelkuchen. (Nicht so wie Kuchen und Hundekuchen.)
> Meint man mit Extrema "globales Minimum/Maximum" ?
Nein. Siehe oben.
> Obwohl das ja nicht sein kann, denn ein globales
> Minimum/Maxium ist gleichzeitig ein lokales.
Das stimmt!
>
> Also was meinst du mit
> "
> > "Allerdings können die Randpunkte, ebenso wie die
> > Nullstellen der ersten Ableitung, Extrema sein. Sie müssen
> > aber keine lokalen Extrema sein"
Kennst Du den Unterschied von "können" und "müssen"?
>
> Und wieso nur "können"?
> Ich dachte ich kann immer davon ausgehen, dass an den
> Randpunkten Extrema vorliegen, denn mit dem notwenigen
> Kriterium kann ich es ja nicht nachweisen, wie soll ich es
> denn sonst machen?
Genau so ist es nicht. In meinem Beispiel liegt am Randpunkt 0 kein Extremum vor.
>
> : Beispiel: Die Ableitung
> > von [mm]x\mapsto x^3[/mm] hat bei Null eine Nullstelle aber kein
> > lokales Extremum.
>
> Aber auch nur nicht, weil die 2.Ableitung an dieser Stelle
> gleich Null ist, oder?
Aus welchen Gründen auch immer. Wäre allerdings die 2. Ableitung bei 0 ungleich 0, so hätten wir dort ein lokales Extremum. Da dies nicht der Fall ist, ist die 2. Ableitung bei 0 gleich 0.
>
> Was wäre, wenn das Intervall [0,2] ist?
> Bei x=0 ist doch der Funktionswert am kleinsten, also
> sogar globales Minimum meiner Meinung nach?
Ja. In diesem Fall läge bei 0 ein lokales und sogar ein globales Minimum vor.
>
> > In jedem Fall mußt Du die Randpunkte und die Nullstellen
> > der ersten Ableitung überprüfen.
>
Grüße,
Wolfgang
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Okay, jetzt bin ich so kurz vor der Klausur verwirrt :/
Also wenn die Aufgabe lautet:
Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
Meint man mit Extrema nur das globale Minimum/Maximum oder soll ich lokale und globale Extrema bestimmen?
Und wie ist es jetzt mit den Randpunkten?
Kann ich davon ausgehen, dass an den Randpunkten in einem geschlossenen Intervall ein Extrema vorliegt?
Ich soll doch die Randpunkte mit den inneren Extrema vergleichen, um zu bestimmen, welches Extrema ein globales ist.
Also muss an den Randpunkten doch ein Extrema sein? Wieso sollte ich sie sonst auch betrachten?
Falls man das nicht allgemein sagen kann, gilt meine Aussage "Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in jedem Randpunkt ein lokales Extremum vor." zumindest für ganzrationale Funktionen?
Ich hoffe Ihr könnt mir noch schnell helfen.
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo,
da du auf eine Klausur lernst mal etwas grundsätzliches:
- Das Extremum
- Die Extrema
>
> Okay, jetzt bin ich so kurz vor der Klausur verwirrt :/
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> Also wenn die Aufgabe lautet:
> Untersuche die Funktion f(x) = ... auf Extrema in [a,b].
>
> Meint man mit Extrema nur das globale Minimum/Maximum oder
> soll ich lokale und globale Extrema bestimmen?
Wenn das nicht näher spezifiziert ist meint man natürlich sämtliche Arten von Extrema.
>
> Und wie ist es jetzt mit den Randpunkten?
> Kann ich davon ausgehen, dass an den Randpunkten in einem
> geschlossenen Intervall ein Extrema vorliegt?
>
Bei einem abgeschlossenen Intervall kann man das, aber angeben musst du sie in jedem Fll, inl. der Art des Extremums.
> Ich soll doch die Randpunkte mit den inneren Extrema
> vergleichen, um zu bestimmen, welches Extrema ein globales
> ist.
Das gehört dann auch dazu. Wobei die Frage lokal vs. global wiederum völlig unabhängig von der ist, ob du ein inneres Extremum oder ein Randextremum hast.
> Also muss an den Randpunkten doch ein Extrema sein? Wieso
> sollte ich sie sonst auch betrachten?
Gute Logik.
> Falls man das nicht allgemein sagen kann, gilt meine
> Aussage "Falls das Intervall geschlossen ist, liegt in
> jedem Randpunkt ein lokales Extremum vor." zumindest für
> ganzrationale Funktionen?
Das gilt dann schon generell.
Viel Erfolg!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Fr 15.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Diophant :)))
Danke, danke und nochmals danke für die schnelle Antwort :)
Du hast meine Fragen 1A beantwortet
> Viel Erfolg!
Dankeschöööön :)
Liebe Grüße,
Lisa
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Meine letzte Frage stelle ich nun nochmal zu Aufgabe 2.
Ich soll also z.B. den Grenzwert hiervon bestimmen:
[mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) [/mm]
Das würde dann so aussehen:
[mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}\right) = 0[/mm]
Meine Frage ist, warum schreibt hier bei [mm]x\to \frac{\pi}{2}^-[/mm] das Minus überhaupt hin?
Das heißt, dass sich x von unten a Pi-Halbe annähert, aber von oben hätten wir doch genau den gleichen Grenzwert?
Kann man das allg. sagen, dass es keinen Unterschied macht, ob man sich von oben oder unten annähert und es somit keine Auswirking auf den Grenzwert hat?
Oder kann es durchaus zu einem anderen Grenzwert kommen?
Dankeschön :)
Gruß,
Lisa
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Hallo nochmal,
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> Meine letzte Frage stelle ich nun nochmal zu Aufgabe 2.
>
> Ich soll also z.B. den Grenzwert hiervon bestimmen:
>
> [mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right)[/mm]
>
> Das würde dann so aussehen:
>
> [mm]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\tan(x) - \frac{1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)}\right) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\left(\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}\right) = 0[/mm]
>
> Meine Frage ist, warum schreibt hier bei [mm]x\to \frac{\pi}{2}^-[/mm]
> das Minus überhaupt hin?
> Das heißt, dass sich x von unten a Pi-Halbe annähert,
> aber von oben hätten wir doch genau den gleichen
> Grenzwert?
> Kann man das allg. sagen, dass es keinen Unterschied
> macht, ob man sich von oben oder unten annähert und es
> somit keine Auswirking auf den Grenzwert hat?
> Oder kann es durchaus zu einem anderen Grenzwert kommen?
Man kann nicht nur, man muss das zunächst tun. Überlege dir das einfach mal an Hand der Tatsache, dass die Tangensfunktion bei Annäherung an die Stelle [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] von links her gegen [mm] \infty, [/mm] von rechts her jedoch gegen [mm] -\infty [/mm] strebt.
Das wirkt sich hier nur aus dem Grund nicht aus, weil der Grenzwert mit 0 vorzeichenlos ist. Also könnte man es auch weglassen, aber Vorsicht ist der Grenzwert der Porzellankiste (oder so ähnlich).
Gruß, Diophant
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