Frage zu einem Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo, irgendwie komme ich hier gerade nicht auf einen Punkt, und zwar wieso ist das Integral von:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi dx} [/mm] = [mm] \pi [/mm] ?
bitte um eine kurze herleitung?
lg Surfer
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Hallo
> Hallo, irgendwie komme ich hier gerade nicht auf einen
> Punkt, und zwar wieso ist das Integral von:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi dx}[/mm] = [mm]\pi[/mm] ?
>
mit dx meinst du wohl [mm] d\phi..
[/mm]
> bitte um eine kurze herleitung?
>
Das Integral [mm] \integral{sin^{2}(\phi) d\phi} [/mm] lässt sich leicht durch partieller Integration berechnen.
Das Resultat ist dann
[mm] \integral{sin^{2}(\phi) d\phi} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] - sin(x)cos(x))
Wenn du jetzt deine Grenzen einsetzt, dann siehst du, dass: [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] - [mm] sin(x)cos(x))|_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] \pi [/mm] - 0 = [mm] \pi
[/mm]
> lg Surfer
Suchst du nach einer Herleitung des Integrals oder reicht dir dies so?
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 30.08.2009 | | Autor: | Surfer |
Sag mal würde es dir was ausmachen, wenn du mir das einmal mit der partiellen Integrationsformel vorrechnen könntest, ich check es irgendwie nicht, habs probiert und dreh damit noch durch!
also wäre super nett
lg Surfer
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Hallo Surfer,
schreibe [mm] $\sin^2(\phi)=\sin(\phi)\cdot{}\sin(\phi)$ [/mm] und rechne es geradeheraus aus:
Ohne Grenzen:
[mm] $\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}=\int{\sin(\phi)\cdot{}\sin(\phi) \ d\phi}$
[/mm]
Mit [mm] $u:=\sin(\phi)$ [/mm] und [mm] $v'=\sin(\phi)$ [/mm] ist dann
[mm] $\blue{\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}}=\sin(\phi)\cdot{}(-\cos(\phi))-\int{\cos(\phi)\cdot{}(-\cos(\phi)) \ d\phi}=-\sin(\phi)\cdot{}\cos(\phi)+\int{\cos^2(\phi) \ d\phi}$
[/mm]
Nun benutze im hinteren Integral den trigonometrischen Pythagoras: [mm] $1=\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)$
[/mm]
Und stelle schlussendlich die Gleichung nach dem gesuchten Integral [mm] $\blue{\int{\sin^2(\phi) \ d\phi}}$ [/mm] um.
Gruß
schachuzipus
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> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{sin^{2}\phi\ d\phi}[/mm]
Hallo Surfer,
dieses Integral kann man auch mittels der
trigonometrischen Identität
[mm] $sin^2\,\phi\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}\,(1-cos\ 2\,\phi)$
[/mm]
und der Substitution [mm] u:=2\,\phi [/mm] berechnen.
LG Al-Chw.
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