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Forum "Fourier-Transformation" - Fouriertransformierte best.
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Fouriertransformierte best.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Sa 09.05.2009
Autor: peter.suedwest

Aufgabe
[mm]g(x) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(x -m\Delta x)[/mm] in Fourierreihendarstellung (1)[mm] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \cdot e^{j2\pi \frac{k}{\Delta x}x} = \frac{1}{\Delta x}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j2\pi \frac{k}{\Delta x}x}[/mm] und das jetzt Fouriertransformieren!

Die Fouriertransformierte soll jetzt [mm] \frac{1}{\Delta x}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (f-\frac{k}{\Delta x})[/mm] sein.

Wie berechnet sich die Fouriertransformierte, ich bekomme das leider nicht hin . Irgentetwas mache ich falsch, wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte.

Meine weniger wichtige Frage, wie komme ich auf diese Umformung (1) und da  geht es mir um das [mm]\frac{k}{\Delta x}[/mm]. Wie kommt das zustande?



        
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Fouriertransformierte best.: Ein Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Sa 09.05.2009
Autor: Infinit

Hallo Peter,
die Korrespondenz zwischen Original- und Bildbereich kommt dadurch zustande, das zur Konstanten 1, die Du in Deinem Summenausdruck ja implizit stehen hast, der Diracimpuls als Korrespondierende dazugehört.
Die Periodenlänge im Originalbereich ist [mm] \Delta x [/mm], der Kehrwert dieser Größe gibt die Auflösung im Bildbereich an, k ist nichts weiter als ein Laufindex.
Viele Grüße,
Infinit

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Fouriertransformierte best.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Sa 09.05.2009
Autor: peter.suedwest

ok das heisst:
[mm]\frac{1}{\Delta x} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1\cdot e^{j2\pi\frac{k}{\Delta x} x} \cdot e^{-j2\pi fx} dx [/mm]
... wie aber geht es jetzt weiter ?

ich checke nicht wie das gehen soll.

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Fouriertransformierte best.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Sa 09.05.2009
Autor: peter.suedwest

Diese Korrespondenz, wieso ist die denn so?

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Fouriertransformierte best.: Variablensubstitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Sa 09.05.2009
Autor: Infinit

Das ist einfach eine Variablensubstitution. Wir wissen,
$$ [mm] F(\omega) [/mm] = [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] f(t) [mm] e^{-j \omega t} [/mm] dt $$
ist die Definition der Fouriertransformierten. Nun haben wir den Ausdruck
$$ [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] f(t) [mm] e^{j \omega_0 t} [/mm] e ^{- j [mm] \omega [/mm] t} dt $$ und das lässt sich auch schreiben als
$$ [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] f(t) [mm] e^{-j (\omega - \omega_0)t} [/mm] dt $$ Ein Vergleich mit der ersten Gleichung zeigt sofort, was dieses Signal für ein Aussehen hat im Frequenzbereich. Es ist um [mm] \omega_0 [/mm] verschoben.


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Fouriertransformierte best.: Zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Sa 09.05.2009
Autor: Infinit

Fasse als nächstes die Werte im Exponenten der e-Funktion zusammen und wende darauf den Verschiebungssatz im Frequenzbereich an:
Zu $$ f(t) [mm] e^{j \omega_0 t} [/mm] $$ gehört die Transformierte
$$ [mm] F(\omega [/mm] - [mm] \omega_0) [/mm] $$
und Du hast Deine Reihe darstehen.

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Fouriertransformierte best.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Sa 09.05.2009
Autor: peter.suedwest

[mm] \frac{1}{\Delta x} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1\cdot e^{j2\pi\frac{k}{\Delta x} x} \cdot e^{-j2\pi fx} dx [/mm]

wird dann zu:
[mm] \frac{1}{\Delta x} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1\cdot e^{j2\pi(\frac{k}{\Delta x} -f)x} dx [/mm]

und das wegen 1 im Ortsbereich wird zu [mm] = \delta(f)[/mm] im Frequenzbereich zu :
$ [mm] \frac{1}{\Delta x}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (f-\frac{k}{\Delta x}) [/mm] $
... OK aber warum ist das so?
... wenn ich das einfach integriere kommt das doch nicht raus!!

Mfg

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Fouriertransformierte best.: Antworten sind da
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Sa 09.05.2009
Autor: Infinit

Die Antworten sind im Thread verteilt.

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