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Fouriertransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Do 19.11.2009
Autor: Zweiti

Aufgabe
Es sei folgende Fourier-Transformation bekannt: [mm] f(x)=\begin{cases} e^{-bx}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}. [/mm] - F(w)= [mm] \bruch{1}{2\pi}*\bruch{b}{b^2+w^2}, [/mm] b>0. Geben Sie unter Verwendung der Eigenschaften der Fourier-Transformation die Fourier-Transformierte F(w) folgender Funktion an: [mm] f(t)=\begin{cases} e^{-(b+2)t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}. [/mm]

Hallo,

ich habe folgende Idee:
[mm] f(t)=\begin{cases} e^{-(b+2)t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] entspricht ja: [mm] f(t)=\begin{cases} e^{-bt}*e^{-2t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}. [/mm] Somit wollte ich die Eigenschaft mit der Faltung anwenden, d.h. meine Funktion ist gleich [mm] F(w)\*F_{b=2}(w). [/mm]
Damit ergibt sich für mich folgendes Integral:
[mm] \bruch{1}{4\pi^2}\integral_{0}^{t}{\bruch{b}{b^2+u^2}*\bruch{1}{2+(t-u)^2} du}. [/mm]
Doch leider komm ich jetzt nicht weiter, wenn ich das ausmultiplziere hab ich einen riesigen Bruch, mit dem ich nichts anfangen kann.
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Danke und Grüße
Zweiti

Hab diese Frage nur in diesem Forum gestellt


        
Bezug
Fouriertransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Fr 20.11.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Es sei folgende Fourier-Transformation bekannt:
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-bx}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}.[/mm]
> - F(w)=

b>0. Geben Sie

> unter Verwendung der Eigenschaften der
> Fourier-Transformation die Fourier-Transformierte F(w)
> folgender Funktion an: [mm]f(t)=\begin{cases} e^{-(b+2)t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}.[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe folgende Idee:
>  [mm]f(t)=\begin{cases} e^{-(b+2)t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
> entspricht ja: [mm]f(t)=\begin{cases} e^{-bt}*e^{-2t}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}.[/mm]
> Somit wollte ich die Eigenschaft mit der Faltung anwenden,
> d.h. meine Funktion ist gleich [mm]F(w)\*F_{b=2}(w).[/mm]
>  Damit ergibt sich für mich folgendes Integral:
>  
> [mm]\bruch{1}{4\pi^2}\integral_{0}^{t}{\bruch{b}{b^2+u^2}*\bruch{1}{2+(t-u)^2} du}.[/mm]
>  
> Doch leider komm ich jetzt nicht weiter, wenn ich das
> ausmultiplziere hab ich einen riesigen Bruch, mit dem ich
> nichts anfangen kann.

Wie wäre es mit einer Partialbruchzerlegung?

>  Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Du könntest auch folgendes tun:  Mit der Abkürzung $a=b+2$ ist

[mm] f(t) = =\begin{cases} e^{-at}, & \mbox{für } t \ge 0 \\ 0 , & \mbox{sonst}\end{cases}. [/mm]

Nach Voraussetzung ist die Fouriertransformation

  [mm]\bruch{1}{2\pi}*\bruch{a}{a^2+w^2}[/mm]

für $a>0$.

Viele Grüße
   Rainer

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