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Fourierreihe von e...: Idee?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mi 01.04.2009
Autor: torstenM

Aufgabe
Bestimmen Sie das Spektrum. Verwenden Sie die Integralrechnung!

[mm] f(x-n2\pi) = e^{-\left| x \right|} [/mm] für [mm] -\pi < x < \pi [/mm]

Ich sitze nun seit zwei Stunden an dieser Aufgabe und habe viele verschiedene Wege probiert um Sie zu lösen, komme jedoch meiner Meinung nach nicht auf das richtige Ergebnis.

Ich komme am Ende nur auf etwas in der Art:

[mm] c_k = [2T*cos(kw_0\pi) - 4k\pi*sin(kw_0\pi)]*e^{-\pi} [/mm]

kann mir jedoch gerade wegen dem [mm] $e^{-\pi}$ [/mm] nicht vorstellen, dass das so richtig sein soll, ich habe keine Idee mehr, wie ich die Aufgabe lösen soll, meine Lösung umfasst zwei Seiten und ist wahrscheinlich noch falsch.

Hat jemand eine Idee wie die Aufgabe richtig gelöst wird, bzw. einen Tipp?

Ich kann leider nicht meinen ganzen Lösungsweg einstellen, da dieser zu lang ist und erwarte auch von niemandem, dass er selbiges tut!

Liebe Grüße,
Torsten

        
Bezug
Fourierreihe von e...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Mi 01.04.2009
Autor: leduart

Hallo
1.wieso schreibst du da ein [mm] \omega_0 [/mm] rein?
2. die einzige Rechnung sollte doch
[mm] c_n=2*integral_{0}^{\pi}{e^{-x}*cos(nx) dx} [/mm] sein.
Wie hast du das geloest?
ausserdem kann man [mm] cos(k\pi) [/mm] und [mm] sin(k\pi) [/mm] ja ausrechnen!
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Fourierreihe von e...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mi 01.04.2009
Autor: torstenM

Also, da die Funktion eine in [mm] 2$\pi$ [/mm] periodische Funktion ist, versuche ich sie mit der Fourierreihe zu lösen.

Dafür gehe ich wie folgt heran:

[mm] f(x-2n\pi)=\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ e^{x}, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases} c_k = \frac{1}{T} \left\{ \integral_{-\pi}^{0}{e^x*e^{-jkw_0x} dx + \integral_{0}^{\pi}{e^{-x}*e^{-jkw_0x}dx}} \right\} [/mm]

So habe ich die Umformung einer Funktion zur Fourier-Reihe gelernt.

Anschließend löse ich die Integrale, setzte die Grenzen ein und versuche per Additionstheoremen auf eine gute Lösung zu kommen, was mir jedoch nicht gelingt.

Achja, j ist im Falle der Nicht-Techniker natürlich i.

P.s. Leider habe ich deine Antwort nicht ganz verstanden!

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe von e...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mi 01.04.2009
Autor: leduart

Hallo
da die fkt sym zur y-achse  ist, musst du nur die Terme mit cos berechnen.
ausserdem reicht es von 0 bis [mm] \pi [/mm] zu rechnen.
ausserdem ist doch [mm] \omega_0 [/mm] hier 1 da die Periode [mm] 2\pi [/mm] ist.
das nur mit cos ist egal, wenn du lieber mit der kompl. Darstellung rechnest.
aber was hast du denn nun fuer deine Integrale raus?
ich hab nicht nachgerechnet, aber [mm] sin(k*\pi)=0 [/mm] solltest du wirklich einsetzen. ebenso +1 bzw -1 fuer [mm] cos(k*\pi) [/mm]
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe von e...: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mi 01.04.2009
Autor: torstenM

Gut, ich denke nun weiß ich, was schief gelaufen ist...

Stimmt, wenn man sich die Funktion vorher aufzeichnet und ansieht, merkt man, dass sie eine gerade Funktion ist und somit die sin Anteile entfallen...

Und wenn ich mal für T = [mm] 2$\pi$ [/mm] eingesetzt hätte und etwas mehr über das Omega nachgedacht hätte, dann wäre mir das alles wohl schon viel früher aufgefallen.

Vielen Dank für die Tipps und einen wunderschönen Abend noch :)

Liebe Grüße,
Torsten

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