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Forum "Fourier-Transformation" - Fourierreihe sin^3
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Fourierreihe sin^3: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Mi 02.12.2009
Autor: magir

Aufgabe
Berechnen Sie die komplete Fourierreihe zu [mm] f(t)=sin^3(wt) [/mm]

Ich habe als versucht die oben stehende Aufgabe zu lösen, leider verschwinden aber alle Koeffizienten.
Hier mein Lösungsweg.


1. [mm] sin^3(wt) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(3sin(wt) [/mm] - sin(3wt)
2. sin(x) = [mm] \bruch{e^(ix)-e^(-ix)}{2i} [/mm]

=> [mm] sin^3(wt)= \bruch{1}{4}(3\bruch{e^{(iwt)}-e^{(-iwt)}}{2i} [/mm] - [mm] \bruch{e^{(3iwt)}-e^{(-3iwt)}}{2i}) [/mm]

komplexe Fourierreihe:
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{f(t)e^{-inwt} dt} [/mm]

Die ws stimmen überein, da die Funktion [mm] sin^3 [/mm] - [mm] 2\pi-periodisch [/mm] ist.

[mm] \bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{\bruch{1}{8i}(3e^{(iwt)}-3e^{(-iwt)}- e^{(3iwt)}+e^{(-3iwt)})e^{-inwt} dt} [/mm]

[mm] \bruch{1}{8iT}\integral_{0}^{T}{(3e^{((1-n)iwt)}-3e^{(-(1+n)iwt)}- e^{((3-n)iwt)}+e^{(-(3+n)iwt)}) dt} [/mm]

[mm] \bruch{1}{8iT}(\bruch{3}{(1-n)iw}e^{((1-n)iwt)}+\bruch{3}{(1+n)iw}e^{(-(1+n)iwt)}-\bruch{1}{(3-n)iw}e^{((3-n)iwt)}-\bruch{1}{(3+n)iw}e^{(-(3+n)iwt)}|_{0}^{T} [/mm]

[mm] \bruch{-1}{8wT}(\bruch{3}{(1-n)}e^{((1-n)iwt)}+\bruch{3}{(1+n)}e^{(-(1+n)iwt)}-\bruch{1}{(3-n)}e^{((3-n)iwt)}-\bruch{1}{(3+n)}e^{(-(3+n)iwt)}|_{0}^{T} [/mm]

Nun gilt w = [mm] 2\pi/T [/mm] Also [mm] wT=2\pi [/mm]
Beim Einsetzen der oberen Integrationsgrenze stehen also bei allen komplexen e-Funktion ganzzahlige Vielfache von [mm] i2\pi. [/mm] Die e-Funktionen werden also alle 1.
Einsetzen der unteren Integrationsgrenze liefert [mm] e^0 [/mm] = 1. Da diese voneinander abgezogen werden ist [mm] c_{n} [/mm] für alle n = 0. Das kann aber nicht sein.

Was mache ich bitte falsch?
Über Tipps würde ich mich sehr freuen.

magir

        
Bezug
Fourierreihe sin^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mi 02.12.2009
Autor: MathePower

Hallo magir,

> Berechnen Sie die komplete Fourierreihe zu [mm]f(t)=sin^3(wt)[/mm]
>  Ich habe als versucht die oben stehende Aufgabe zu lösen,
> leider verschwinden aber alle Koeffizienten.
>  Hier mein Lösungsweg.
>  
>
> 1. [mm]sin^3(wt)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(3sin(wt)[/mm] - sin(3wt)
>  2. sin(x) = [mm]\bruch{e^(ix)-e^(-ix)}{2i}[/mm]
>  
> => [mm]sin^3(wt)= \bruch{1}{4}(3\bruch{e^{(iwt)}-e^{(-iwt)}}{2i}[/mm]
> - [mm]\bruch{e^{(3iwt)}-e^{(-3iwt)}}{2i})[/mm]
>  
> komplexe Fourierreihe:
>  [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{f(t)e^{-inwt} dt}[/mm]
>  
> Die ws stimmen überein, da die Funktion [mm]sin^3[/mm] -
> [mm]2\pi-periodisch[/mm] ist.
>  
> [mm]\bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{\bruch{1}{8i}(3e^{(iwt)}-3e^{(-iwt)}- e^{(3iwt)}+e^{(-3iwt)})e^{-inwt} dt}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{8iT}\integral_{0}^{T}{(3e^{((1-n)iwt)}-3e^{(-(1+n)iwt)}- e^{((3-n)iwt)}+e^{(-(3+n)iwt)}) dt}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{8iT}(\bruch{3}{(1-n)iw}e^{((1-n)iwt)}+\bruch{3}{(1+n)iw}e^{(-(1+n)iwt)}-\bruch{1}{(3-n)iw}e^{((3-n)iwt)}-\bruch{1}{(3+n)iw}e^{(-(3+n)iwt)}|_{0}^{T}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-1}{8wT}(\bruch{3}{(1-n)}e^{((1-n)iwt)}+\bruch{3}{(1+n)}e^{(-(1+n)iwt)}-\bruch{1}{(3-n)}e^{((3-n)iwt)}-\bruch{1}{(3+n)}e^{(-(3+n)iwt)}|_{0}^{T}[/mm]
>  
> Nun gilt w = [mm]2\pi/T[/mm] Also [mm]wT=2\pi[/mm]
>  Beim Einsetzen der oberen Integrationsgrenze stehen also
> bei allen komplexen e-Funktion ganzzahlige Vielfache von
> [mm]i2\pi.[/mm] Die e-Funktionen werden also alle 1.
>  Einsetzen der unteren Integrationsgrenze liefert [mm]e^0[/mm] = 1.
> Da diese voneinander abgezogen werden ist [mm]c_{n}[/mm] für alle n
> = 0. Das kann aber nicht sein.


Für [mm]n\notin\left\{-3,-1,1,3\right\}[/mm] ist das sehr wohl so, daß [mm]c_{n}=0[/mm].

Für die Fälle [mm]n\in\left\{-3,-1,1,3\right\}[/mm] muß eine Fallunterscheidung gemacht werden.


>  
> Was mache ich bitte falsch?
>  Über Tipps würde ich mich sehr freuen.
>  
> magir


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe sin^3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Mi 02.12.2009
Autor: magir

Vielen Dank für die Hilfe.
Langsam kommt die Erinnerung wieder. Da war doch was mit [mm] "\bruch{1}{0}". [/mm]
Fallunterscheidung habe ich nun gemacht, indem ich die speziellen Integrale für [mm] n=\pm1 [/mm] und [mm] \pm3 [/mm] gelöst habe. Damit ist die Aufgabe geschafft. Danke nochmal. :)

Bezug
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