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| Aufgabe | (a) Man bestimme die Fourierreihe der [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion, die durch die Funktionswerte im Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] bestimmt ist.
(b) Man bestimme die Fourierreihe der [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion, die durch die Funktionswerte im Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] mit f(x) = [mm] e^x [/mm] bestimmt ist. Man beachte, dass bei der Fourierreihe mit Cosinus und Sinus komplizierte Integrale der Form [mm] \integral_{-\pi}^{ \pi}{e^x*cos(nx) dx} [/mm] usw. zu lösen wären. Mit [mm] e^{ix} [/mm] geht es viel einfacher! |
Hallo,
Da im anderen Thread mir schon so gut geholfen wurde, dachte ich mir das ich euch noch zu einem anderem Thema um Rat frage, Fourierreihen in komplexer Darstellung.
Zu lösen sind die Aufgaben a und b die ich in der Aufgabenstellung eingetippt habe.
Hier muss ich doch die Intervalle und die Funktion einsetzen:
[mm] c_{n}=1/T*\integral_{-T/2}^{T2}{f(t)*e^{inwt} dt}
[/mm]
bei der a, würde ich für [mm] f(t)=t^2 [/mm] für das f(t) einsetzen und für das T [mm] 2\pi. [/mm]
Würde dann auf folgendes kommen: [mm] c_{n}=1/2\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{t^2*e^{int} dt}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Muss ich danach das Integral dieser Funktion für [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] bilden?
Wie gehts dann weiter?
Kann ich dann das Integral in die Schreibweise mit dem Kosinus und Sinus schreiben und dann [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] berechnen?
Wäre schön wenn ich einige Tipps kriegen könnte besonders erstmal für die (a), wenn ich verstanden habe wie das einigermaßen läuft würde ich gerne die (b) erstmal selber probieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erste Aufgabe ist einfacher nicht komplex zu lösen, da die fkt sym zur y-Achse ist also alle Koeffizienten von sin verschwinden und due nur noch die für cos ausrechnen musst.
sonst wie du schreibst, aber das ist ja nicht verlangt!
nur die zweite ist mit der e-fkt viel leichter, weil die sin und cos [mm] *e^t [/mm] funktionen unschöne Integrale geben.
bei den komplexen musst du allerdings [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{-n} [/mm] berechnen, daraus dann :
[mm] a_0 [/mm] = 2 [mm] \cdot c_0
[/mm]
[mm] \displaystyle a_n [/mm] = [mm] c_n [/mm] + [mm] c_{-n}\!
[/mm]
[mm] \displaystyle b_n [/mm] = [mm] \mathrm{i} (c_n [/mm] - [mm] c_{-n})\! [/mm]
(sowas seh ich bei wiki nach!)
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Fr 06.07.2007 | | Autor: | ThorinVII |
Was ist dann gefragt?
Ich habe nun Aufgaben erhalten wie sie so ähnlich wohl in der Prüfung drankommen sollen, nur kann ich momentan fast gar nichts damit anfangen. Vielleicht weiß ja wer Rat. Hier die Aufgaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang doch erstmal an, und sag dann, wo du scheiterst!
alles von 0 an zu erklären ist ja ne halbe Vorlesung.
Gruss leduart
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Ok, die Aufgaben 11.2 sind für mich von Relevanz. Fangen wir bei der (i) am besten an.
Das Problem ist, das ich gar nicht weiß wie ich an solche Aufgaben rangehen, ich habe im Skript von meinem Prof nur einige Definitionen, aber keine konkreten Beispiele, wo ich einmal sehen kann wie man an so Aufgaben rangeht.
[mm] F_{n}(t)=\bruch{a_{o}}{2}+\summe_{n=1}^{N}(a_{n}*cos(nwt)+b_{n}*sin(nwt))
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] sind die Koeffizienten diese muss ich bestimmen.
Ausgangspunkt ist schätze ich mal folgende Formel: [mm] c_{n}=1/T\cdot{}\integral_{-T/2}^{T2}{f(t)\cdot{}e^{inwt} dt}
[/mm]
Nur was mache ich nun? Was ist mit dem T durch was muss das immer ersetzt werden? Mit [mm] 2\pi? [/mm]
Müssen die Integralgrenzen von [mm] \pi [/mm] bis [mm] -\pi [/mm] betrachtet werden oder von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi?
[/mm]
Was ich brauche sind keine Lösungen sondern nur kleine Tipps, wie ich vorgehe, das lösen muss ich selber hinkriegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
T ist die Länge der Periode, hier [mm] 2\pi
[/mm]
es tritt nochmal in [mm] \omega=2\pi/T [/mm] auf, für dich also [mm] \omega=1
[/mm]
Die Grenzen so wie sie dastehen, wenn f(t) auf dem Stückk gegeben und dann periodisch ist. also hier von [mm] \-pi [/mm] bis [mm] +\pi.
[/mm]
ich hoff, jetzt kannst du loslegen.
-Ausser Vorlesungsskripten gibts eigentlich auch Bücher, und man sollte sich früh angewöhnen mindestens eins besser mehrere nebe dem Skript zu benutzen!-
vieles findest du auch im Netz, aber besser ists sich mit einem Buch mindestens vertraut zu machen.
Gruss leduart
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Habe das Integral erstmal dazu erstellt und es lautet:
[mm] 1/2t^2*e^{-int} [/mm]
Betragsstiche kann man ja weglassen, wegen dem hoch 2 oder?
Nun muss ich das Integral im Intervall von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] betrachten. Komme auf folgendes Ergebnis dann:
[mm] \bruch{1}{2\pi}[\bruch{1}{2}\pi^2*e^{-in\pi}-\bruch{1}{2}\pi^2*e^{in\pi}
[/mm]
Ist es bis hierhin richtig? Außer das ganze auszuklammern sehe ich momentan keine Möglichkeit das ganze noch zu vereinfachen?
Kann man nicht als Intervall von 0 bis [mm] \pi [/mm] wählen und vor das Integral *2 schreiben? Die Funktion ist ja symmetrisch. Dann würde das schon viel besser aussehen.
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Hallo Thorin VII,
ich hab erst mal die Fourierkoeffizienten der reellen Funktion bestimmt.
f(t) = |t| ; mit |t| [mm] \le \pi
[/mm]
Dann ist
[mm]a_{0}= \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0} -t\, dt + \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi} t\, dt = \pi [/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0} (-t)*cos(n*t)\, dt + \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi} t*cos(n*t)\,[/mm]
[mm]a_{n}=-\bruch{4}{\pi*(2*n+1)^{2}}[/mm]
Da f(t) = |t| eine gerade Funktion ist, ist [mm] b_{n} [/mm] = 0.
Nun sagt meine Formelsammlung, dass sich die reellen Fourierkoeffizienten relativ einfach in die komplexen Fourierkoeffizienten umrechnen lassen:
[mm]c_{0} = \bruch{1}{2}*a_{0} = \bruch{\pi}{2}[/mm]
und
[mm]c_{n} = \bruch{1}{2}*(a_{n}-ib_{n})=\bruch{a_{n}}{2} = -\bruch{2}{\pi*(2*n+1)^{2}}[/mm]
sowie
[mm]c_{-n} = \bruch{1}{2}*(a_{n}+ib_{n})=\bruch{a_{n}}{2}[/mm]
, n [mm] \in \IN \backslash\{0\}
[/mm]
, wenn ich mich nicht irre.
LG, Martinius
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Hi,
Ich finde ja super, das du dir die Mühe machst und es durchrechnest. Leider habe ich so meine Probleme dem ganzen zu folgen, wie bist du vorgegangen und in welche Formeln hast du das ganze eingesetzt?
Was ich brauche sind Vorgehensweisen bei diesen Problemen, keine konkreten Lösungen. Ich muss ja am Montag irgendwie meine Prüfung schreiben :)
Woher kommt das a0 und an? Das Integral hast du sicherlich in 2 aufgeteilt, damit sie sich nicht gegenseitig aufheben oder? Glaube das war bei meiner Rechnung der Fall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Rückfrage ist schwer verständlich, da er ja seinen Rechenweg aufgeschrieben hat! nur wie er das Integral gelöst hat fehlt, das geht mit partieller Integration!
schreib dein Vorgehen und deine GFrragen genau auf.
bis morgen leduart
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Hallo Thorin VII (Eichenschild?),
Also die Formeln, um die reellen Fourierkoeffizienten zu berechnen, habe ich aus meiner Formelsammlung (Papula):
[mm]a_{0} = \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi} f(t)\, dt [/mm]
[mm]a_{n} = \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi} f(t)*cos(n*t)\, dt [/mm]
[mm]b_{n} = \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi} f(t)*sin(n*t)\, dt [/mm]
Die reelle Fourierreihe heißt dann:
[mm]f(t) = \bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}[a_{n}*cos(n*t)+b_{n}*sin(n*t)] [/mm]
Die rellen Fourierkoeffizienten rechnet man in komplexe so um:
[mm] c_{0} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] ; [mm] c_{n}= \bruch{1}{2}*(a_{n}-ib_{n}) [/mm] ; [mm] c_{-n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(a_{n}+ib_{n})
[/mm]
Die komplexen Fourierkoeffizienten rechnet man so in reelle um:
[mm]a_{0} = 2*c_{0}[/mm] ; [mm] a_{n} [/mm] = [mm] c_{n} [/mm] + [mm] c_{-n} [/mm] ; [mm] b_{n} [/mm] = [mm] i(c_{n} [/mm] - [mm] c_{-n})
[/mm]
Die Integrale habe ich auch in der Formelsammlung nachgesehen; geht natürlich auch mit partieller Integration.
Das Integral habe ich in 2 Teile aufgeteilt wegen der Betragsfunktion.
Da ich eh Schlafprobleme habe, hab ich nochmal den komplexen Fourierkoeffizienten mit deinem Integral berechnet:
Allgemein lautet deine Formel:
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi} f(t)*e^{i*n*t}\, dt [/mm]
Auf deine Betragsfunktion angewandt:
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\int_{-\pi}^{0} (-t)*e^{i*n*t}\, dt +\bruch{1}{2*\pi}*\int_{0}^{\pi} t*e^{i*n*t}\, dt [/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{-1}{2*\pi}*\left[\bruch{i*n*t-1}{(i*n)^{2}}*e^{i*n*t}\right]_{-\pi}^{0} + \bruch{1}{2*\pi}*\left[\bruch{i*n*t-1}{(i*n)^{2}}*e^{i*n*t}\right]_{0}^{\pi} [/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{-1}{2*\pi}*\left(\bruch{-1}{-n^{2}}-\bruch{-i*n*\pi-1}{-n^{2}}*e^{-i*n*\pi}\right)+ \bruch{1}{2*\pi}*\left(\bruch{i*n*t-1}{-n^{2}}*e^{i*n*\pi}-\bruch{-1}{-n^{2}}\right) [/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(\bruch{-1}{n^{2}}+\bruch{i*n*\pi+1}{n^{2}}*(cos(n*\pi))-i*sin(n*\pi))\right)+ \bruch{1}{2*\pi}*\left(-\bruch{i*n*t-1}{n^{2}}*(cos(n*\pi)+i*sin(n*\pi))-\bruch{1}{n^{2}}\right) [/mm]
Für n = 1,3,5,7, ... ergibt sich
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(\bruch{-1}{n^{2}}-\bruch{i*n*\pi+1}{n^{2}}\right)+ \bruch{1}{2*\pi}*\left(\bruch{i*n*t-1}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{2}}\right) [/mm]
Also eigentlich
[mm]c_{n} = \bruch{-2}{\pi*(2*n+1)^{2}}[/mm]
Für n = 2,4,6,8,... ergibt sich
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(\bruch{-1}{n^{2}}+\bruch{i*n*\pi+1}{n^{2}}\right)+ \bruch{1}{2*\pi}*\left(-\bruch{i*n*t-1}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{2}}\right) [/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = 0
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Thorin VII,
Hier noch die beiden Aufgaben aus deinem 1. post.
a) f(x) = [mm] x^{2} [/mm] f(x) ist eine gerade Funktion: [mm] b_{n}=0
[/mm]
Hier ist die Berechnung der reellen Koeffizienten einfacher.
[mm]a_{0}= \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} x^2\, dx[/mm]
[mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\left[\bruch{1}{3}x^{3}\right]_{-\pi}^{\pi} [/mm]
[mm]a_{0}=\bruch{1}{3\pi}*\left((\pi)^{3}\right) - \bruch{1}{3\pi}*\left(-\pi^{3}\right) = \bruch{2}{3}*\pi^{2}[/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} x^2*cos(nx)\, dx [/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\left[\bruch{2x*cos(nx)}{n^2}+\bruch{(n^2x^2-2)*sin(nx)}{n^3}\right]_{-\pi}^{\pi}[/mm]
für n = 1,3,5,7,...
[mm]a_{n} = \bruch{1}{\pi}*(-\bruch{2\pi}{n^2}-\bruch{2\pi}{n^2}) = \bruch{-4}{n^2}[/mm]
für n = 2,4,6,8,...
[mm]a_{n} = \bruch{1}{\pi}*(\bruch{2\pi}{n^2}+\bruch{2\pi}{n^2}) = \bruch{4}{n^2}[/mm]
Die reelle Fourierreihe ist dann:
[mm]f(x) = \bruch{\pi^2}{3}*\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*4*\bruch{cos(nx)}{n^2}[/mm]
b)
f(x) = [mm] e^x [/mm]
Komplexe Fourierkoeffizienten:
[mm]c_{n}= \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^x*e^{-inx}\, dx = \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^{(1-in)*x}\, dx[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}*\left[\bruch{1}{1-in}*e^{(1-in)*x}\right]_{-\pi}^{\pi}[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}*\left(\bruch{1}{1-in}*e^{(1-in)*\pi}-\bruch{1}{1-in}*e^{(in-1)*\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{1+in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(e^{\pi}*(cos(n\pi)-i*sin(n\pi))-e^{-\pi}*(cos(n\pi)+i*sin(n\pi))\right)[/mm]
für n = 1,3,5...
[mm]c_{n}=\bruch{1+in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(-e^{\pi} + e^{-\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{n}=\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}+i*\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}[/mm]
für n = 2,4,6,...
[mm]c_{n}=\bruch{1+in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{n}=\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}+i*\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}[/mm]
Also ist
[mm]c_{n}=(-1)^{n+1}*\left[\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}+i*\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}\right][/mm]
Entsprechend errechnet sich der Fourierkoeffizient
[mm]c_{-n}= \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^x*e^{inx}\, dx = \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^{(1+in)*x}\, dx[/mm]
[mm]c_{-n}=\bruch{1}{2\pi}*\left[\bruch{1}{1+in}*e^{(1+in)*x}\right]_{-\pi}^{\pi}[/mm]
[mm]c_{-n}=\bruch{1}{2\pi}*\left(\bruch{1}{1+in}*e^{(1+in)*\pi}-\bruch{1}{1+in}*e^{-(in+1)*\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{-n}=\bruch{1-in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(e^{\pi}*(cos(n\pi)+i*sin(n\pi))-e^{-\pi}*(cos(n\pi)-i*sin(n\pi))\right)[/mm]
für n = 1,3,5...
[mm]c_{-n}=\bruch{1-in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(-e^{\pi} + e^{-\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{-n}=\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}-i*\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}[/mm]
für n = 2,4,6,...
[mm]c_{-n}=\bruch{1-in}{2*\pi*(1+n^2)}*\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)[/mm]
[mm]c_{-n}=\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}-i*\left(e^{\pi} - e^{-\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}[/mm]
Also ist
[mm]c_{-n}=(-1)^{n+1}*\left[\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{1}{2*\pi*(1+n^2)}-i*\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*\bruch{n}{2*\pi*(1+n^2)}\right][/mm]
[mm]c_{0} = \bruch{1}{2*\pi}*\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)[/mm]
Die komplexe Fourierreihe müsste dann lauten:
[mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}*e^{inx} [/mm]
[mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n+1}*\left[\bruch{e^{-\pi} - e^{\pi}}{2*\pi*(1+n^2)}+i*\bruch{\left(e^{-\pi} - e^{\pi}\right)*n}{2*\pi*(1+n^2)}\right]*e^{i*n*x} [/mm]
Die reellen Fourierkoeffizienten errechnen sich dann zu
[mm]a_{0} = 2*c_{0}=\bruch{1}{\pi}*\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)[/[/mm]
[mm]a_{n} = c_{n} + c_{-n} = \bruch{1}{\pi*(1+n^2)}*(-1)^{n+1}*\left(e^{-\pi}-e^{\pi}\right)[/mm]
[mm]b_{n} = i*(c_{n} - c_{-n}) = \bruch{-n}{\pi*(1+n^2)}*(-1)^{n+1}*\left(e^{-\pi}-e^{\pi}\right)[/mm]
Die reelle Fourierreihe lautet dann:
[mm]f(x) = \bruch{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}+\bruch{e^{-\pi}-e^{\pi}}{\pi}*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\left(\bruch{cos(nx)}{1+n^2}-\bruch{n*sin(nx)}{1+n^2}\right) [/mm]
... wenn ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Sa 07.07.2007 | | Autor: | ThorinVII |
Wow das ist ausführlich, thx. Also eigentlich besteht die Schwierigkeit nur darin, das erstmal zu integrieren und dann aufzulösen. Gerade beim nachrechnen sind mir zig Vorzeichenfehler passiert. Mit der reelen Funktion sind die Integrale deutlich leichter zu bestimmen.
Bei der (ii) und (iii) muss mal denke ich genauso vorgehen? Werde die dann mal nachher noch rechnen und schauen, ob das einigermaßen sitzt, würde die Lösungen hier eintragen.
Schaue mir gleich noch deine Lösungen zu den anderen Aufgaben an.
Das Integral habe ich mit Maple bestimmt, aber der spuckt mir als Stammfunktion immer [mm] 1/2t^2\cdot{}e^{-int} [/mm] bzw. [mm] -1/2t^2\cdot{}e^{-int}
[/mm]
Danke für deine Hilfe.
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Du sagst ja das bei geraden Funktionen bn=0 immer ist, ist dann an=0 bei allen ungeraden Funktionen (Punktsymmetrie), oder kann man da keine Aussage diesbezüglich treffen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Richtig.
gerade fkt Mal sin gibt von [mm] -\pi [/mm] bis 0 und 0 [mm] bis+\pi [/mm] genaudas entgegengestzt gleiche, zusammen also 0
ungerade*cos ist dasselbe.
vorsicht, es gibt auch fkt die weder gerade noch ungerade sind.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie hast du denn da integriert? welche Stammfunktion benutzt?
es sieht so aus als hättest du
[mm] \integral{ t*.e^{int} dt} [/mm] die Stammfunktion [mm] 1/2t^2*e^{int} [/mm] benutzt? aber so einfach ist das nicht zu integrieren!
dass es falsch ist kannst du sehen, indem du es wieder differenzierst, nach der Produktregel!
ich weiss auch nicht, ob du jetzt die Funktion |t| oder [mm] t^2 [/mm] willst. bei|t| kannst du nicht einfach das || weglassen wenn du bei [mm] -\pi [/mm] anfängst, |t|=-t für t<0.
Also schreib deinen rechenweg mit.
Gute Nacht leduart
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Hallo,
So ich habe mal etwas gerechnet bezüglich Aufgabe (ii):
[mm] c_{n}= \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{(5+3e^{it})*e^{-int} dt}=\bruch{5}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-int} dt}+\bruch{3}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-int+it} dt}
[/mm]
[mm] c_{n}= \bruch{5}{2\pi}\left[t*e^{-int}\right]_{-\pi}^{\pi}+\bruch{3}{2\pi}\left[t*e^{-int+it}\right]_{-\pi}^{\pi}
[/mm]
Das habe ich dann ausgerechnet zu:
[mm] c_{n}= \bruch{5}{2}*e^{-in\pi}+\bruch{5}{2}*e^{in\pi}+\bruch{3}{2}*e^{-in\pi+i\pi}+\bruch{3}{2}*e^{in\pi-i\pi}
[/mm]
Soweit richtig? Kann man den Term noch weiter vereinfachen?
Der Prof hat noch einen Hinweis gegeben, sieht man unter den Aufgaben. Kann damit nichts anfangen, weiß einer was das zu bedeuten hat?
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Hallo Thorin VII,
Die erste Zeile scheint mir richtig; hab' ich auch. Beim Integral hab ich aber etwas anderes:
> [mm]c_{n}= \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{(5+3e^{it})*e^{-int} dt}=\bruch{5}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-int} dt}+\bruch{3}{2\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-int+it} dt}[/mm]
Dann hab ich:
[mm]c_{n}= \bruch{5}{2\pi}\left[\bruch{1}{-in}*e^{-int}\right]_{-\pi}^{\pi}+\bruch{3}{2\pi}\left[\bruch{1}{i(1-n)}*e^{i(1-n)t}\right]_{-\pi}^{\pi}[/mm]
Den Hinweis von deinem Prof. versteh ich auch nicht; ich bin aber nur mathematischer Laie.
LG, Martinius
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Wenn ich das cn nun weiter berechnen will bekomme ich einen elend langen Term, kann man folgendes irgendwie zusammenfassen:
[mm] \bruch{1}{-in}*e^{-in\pi}-\bruch{1}{-in}*e^{in\pi}
[/mm]
Denke werde mir gleich noch ein paar Funktionen anschauen und dazu die Stammfunktionen, da liegt momentan meine größte Sorge. Hat wer vielleicht eine gute Seite da? Besonders welche mit e-Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn ich das cn nun weiter berechnen will bekomme ich einen
> elend langen Term, kann man folgendes irgendwie
> zusammenfassen:
> [mm]\bruch{1}{-in}*e^{-in\pi}-\bruch{1}{-in}*e^{in\pi}[/mm]
ja, denn [mm] e^{i\phi}=e^{i*\phi+k*2\pi} [/mm] für k ganz! deshalb ist dein Ausdruck 0.
(übrigens 1/i=-i; damit 1/(-i)=i)
deine Aufgabe ii) ist schon die eigene Fourrierreihe [mm] c_0=5 c_1=3 [/mm] fertig!
die Bemerkung unter der Aufgabe heisst, dass das Integral 0 ist für alle m [mm] \ne [/mm] n d,h, dann musst du nix rechnen!
Gruss leduart
> Denke werde mir gleich noch ein paar Funktionen anschauen
> und dazu die Stammfunktionen, da liegt momentan meine
> größte Sorge. Hat wer vielleicht eine gute Seite da?
> Besonders welche mit e-Funktionen?
nimm als Integranden :
[mm] a)cosx*e^x
[/mm]
[mm] b)x^2*e^x
[/mm]
[mm] c)x*e^x
[/mm]
Gruss leduart
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Habe gerade noch eine interessante Formel in meiner Formelsammlung gefunden:
[mm] e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^n
[/mm]
Du sagst ja: 1/i=-i
Ist dann 1/in=-in ?
[mm] e^{i(1-n)\pi}-e^{-i(1-n)\pi}=0
[/mm]
[mm] e^{i(1-n)\pi}+e^{-i(1-n)\pi}=e^{-in\pi+i\pi}+e^{in\pi-i\pi}=e^{-in\pi}*e^{i\pi}+e^{in\pi}*e^{-i\pi}=(-1)^n*(-1)+(-1)^n*(-1)=
[/mm]
2 für ungerade
-2 für gerade
Stimmt das?
Gibt es feste Regeln wenn ich Stammfunktionen folgendes Typen suche:
(Term mit x [mm] drin)*e^x [/mm] (solche wie du gepostet hast)
e^(Term mit x drin)
(Term mit x drin) *e^(Term mit x drin)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Habe gerade noch eine interessante Formel in meiner
> Formelsammlung gefunden:
> [mm]e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^n[/mm]
Du solltest nicht so viele Formeln lernen! dass [mm] e^{i\pi}=-1 [/mm] kann man direkt sehen, da es um [mm] \pi [/mm] zur pos x-Achse gedreht ist! und [mm] e^{2\pi}=1 [/mm] ist eh klar. dass sich die alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholen ist auch klar!
>
> Du sagst ja: 1/i=-i
> Ist dann 1/in=-in ?
missverständlich 1/i*n=-i*n: 1/(in)=-i/n
> [mm]e^{i(1-n)\pi}-e^{-i(1-n)\pi}=0[/mm]
>
> [mm]e^{i(1-n)\pi}+e^{-i(1-n)\pi}=e^{-in\pi+i\pi}+e^{in\pi-i\pi}=e^{-in\pi}*e^{i\pi}+e^{in\pi}*e^{-i\pi}=(-1)^n*(-1)+(-1)^n*(-1)=[/mm]
> 2 für ungerade
> -2 für gerade
>
> Stimmt das?
richtig, hättest du schneller gehabt mit 1-n=k ganz ohne umschreiben.
>
> Gibt es feste Regeln wenn ich Stammfunktionen folgendes
> Typen suche:
> (Term mit x [mm]drin)*e^x[/mm] (solche wie du gepostet hast)
geht oft mit partieller Integration.
> e^(Term mit x drin)
geht fast nie, wenn nicht noch f(x) davorsteht. Bsp [mm] e^{x^2} [/mm] nicht integrierbar mit einfachen Stammfkt, [mm] x*e^{x^2} [/mm] ist direkt integrierbar.
> (Term mit x drin) *e^(Term mit x drin)
oft mit Substitution, aber allgemein kann man nix sagen.
Gruss leduart
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