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Forum "Fourier-Transformation" - Fourierreihe bestimmen
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Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr

Hallo ich beschäftige mich gerade mit der Fourierreihe.
Dazu habe ich eine Funktion $y=|x|$ für [mm] $-\pi \le [/mm] x [mm] \le \pi$ [/mm]
Die Funktion [mm] $f(x)=\summe_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx}$ [/mm]
wobei [mm] $c_k=\frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{|x|*e^{-ikx} dx}=\frac{1}{2\pi} (\integral_{-\pi}^{0}{(-x)*e^{-ikx} dx}+\integral_{0}^{\pi}{x*e^{-ikx} dx})$ [/mm]
Durch partielle Integration habe ich dann für [mm] $c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}$ [/mm]

Doch wie vereinfache ich das und vor allem wie fahre ich dann weiter fort? Gibt es noch irgendetwas zu beachten?

        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mi 23.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> Hallo ich beschäftige mich gerade mit der Fourierreihe.
>  Dazu habe ich eine Funktion [mm]y=|x|[/mm] für [mm]-\pi \le x \le \pi[/mm]
>  
> Die Funktion [mm]f(x)=\summe_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx}[/mm]
>  
> wobei [mm]c_k=\frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{|x|*e^{-ikx} dx}=\frac{1}{2\pi} (\integral_{-\pi}^{0}{(-x)*e^{-ikx} dx}+\integral_{0}^{\pi}{x*e^{-ikx} dx})[/mm]
>  
> Durch partielle Integration habe ich dann für [mm]c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}[/mm]
>  
> Doch wie vereinfache ich das und vor allem wie fahre ich
> dann weiter fort? Gibt es noch irgendetwas zu beachten?


Zunächst kannst Du [mm]\bruch{1}{i}[/mm] umzuschreiben.

Dann kann noch [mm]e^{i*k*\pi}[/mm] bzw. [mm]e^{-i*k*\pi}[/mm]
mit Hilfe der eulerschen Identität vereinfachen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr

Wie kann man denn [mm] $\frac{1}{i}$ [/mm] umschreiben?
und du meinst ich soll [mm] $e^{ik\pi}$ [/mm] als [mm] cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$ [/mm] schreiben bzw.  [mm] $e^{-ik\pi}$ [/mm] als [mm] $cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 23.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> Wie kann man denn [mm]\frac{1}{i}[/mm] umschreiben?


Es gilt doch: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]


>  und du meinst ich soll [mm]$e^{ik\pi}$[/mm] als
> [mm]cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$[/mm] schreiben bzw.  [mm]$e^{-ik\pi}$[/mm] als
> [mm]$cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$?[/mm]  


Ja, und das kannst Du nochmal vereinfachen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo ralfr,
>  
> > Wie kann man denn [mm]\frac{1}{i}[/mm] umschreiben?
>  
>
> Es gilt doch: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]
>  
>
> >  und du meinst ich soll [mm]$e^{ik\pi}$[/mm] als

> > [mm]cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$[/mm] schreiben bzw.  [mm]$e^{-ik\pi}$[/mm] als

[mm] $=-\pi*i*\frac{1}{k}(cos(\pi *k)+isin(\pi*k)) [/mm]

> > [mm]$cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$?[/mm]  
>
>
> Ja, und das kannst Du nochmal vereinfachen.
>  

>
Ok danke hier meine Rechnung:
$ [mm] c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2} [/mm] $
[mm] $=-\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))+\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}$ [/mm]
[mm] $=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)$ [/mm]
Weiter kriege ich es nicht vereinfacht.


Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Mi 23.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> > Hallo ralfr,
>  >  
> > > Wie kann man denn [mm]\frac{1}{i}[/mm] umschreiben?
>  >  
> >
> > Es gilt doch: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]
>  >  
> >
> > >  und du meinst ich soll [mm]$e^{ik\pi}$[/mm] als

> > > [mm]cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$[/mm] schreiben bzw.  [mm]$e^{-ik\pi}$[/mm] als
> [mm]$=-\pi*i*\frac{1}{k}(cos(\pi *k)+isin(\pi*k))[/mm]
>  > >

> [mm]$cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$?[/mm]  
> >
> >
> > Ja, und das kannst Du nochmal vereinfachen.
>  >  
> >
>  Ok danke hier meine Rechnung:
>  [mm]c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}[/mm]
>  
> [mm]=-\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))+\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}[/mm]
>  
> [mm]=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)[/mm]
>  Weiter kriege ich es nicht vereinfacht.
>  


Das kannst Du noch weitervereinfachen.

Es gilt nämlich:

[mm]\sin\left(k*\pi\right)=0, \ k \in \IZ[/mm]

[mm]\cos\left(k*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}, \ k \in \IZ[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo ralfr,
>  
> > > Hallo ralfr,
>  >  >  
> > > > Wie kann man denn [mm]\frac{1}{i}[/mm] umschreiben?
>  >  >  
> > >
> > > Es gilt doch: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > >  und du meinst ich soll [mm]$e^{ik\pi}$[/mm] als

> > > > [mm]cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$[/mm] schreiben bzw.  [mm]$e^{-ik\pi}$[/mm] als
> > [mm]$=-\pi*i*\frac{1}{k}(cos(\pi *k)+isin(\pi*k))[/mm]
>  >  > >

> > [mm]$cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$?[/mm]  
> > >
> > >
> > > Ja, und das kannst Du nochmal vereinfachen.
>  >  >  
> > >
>  >  Ok danke hier meine Rechnung:
>  >  [mm]c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}[/mm]
>  
> >  

> >
> [mm]=-\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))+\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}[/mm]
>  >  
> >
> [mm]=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)[/mm]
>  >  Weiter kriege ich es nicht vereinfacht.
>  >  
>
>
> Das kannst Du noch weitervereinfachen.
>  
> Es gilt nämlich:
>  
> [mm]\sin\left(k*\pi\right)=0, \ k \in \IZ[/mm]
>  
> [mm]\cos\left(k*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}, \ k \in \IZ[/mm]
>  
>

Ach ja :)
dann komme ich zu
[mm] $c_k=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)=\frac{2}{k^2}*((-1)^k-1)$ [/mm]

Allerdings habe ich jetzt wieder das Problem,
dass ja gilt:
[mm] $f(x)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}c_k*e^{ikx}=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2}{k^2}*((-1)^k-1)*e^{ikx}$ [/mm]
Wie kriege ich denn dort das i weg?


Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 23.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,


> > Hallo ralfr,
>  >  
> > > > Hallo ralfr,
>  >  >  >  
> > > > > Wie kann man denn [mm]\frac{1}{i}[/mm] umschreiben?
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Es gilt doch: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > > > >  und du meinst ich soll [mm]$e^{ik\pi}$[/mm] als

> > > > > [mm]cos(\pi*k)+isin(\pi*k)$[/mm] schreiben bzw.  [mm]$e^{-ik\pi}$[/mm] als
> > > [mm]$=-\pi*i*\frac{1}{k}(cos(\pi *k)+isin(\pi*k))[/mm]
>  >  >  >

> >
> > > [mm]$cos(\pi*k)-isin(\pi*k)$?[/mm]  
> > > >
> > > >
> > > > Ja, und das kannst Du nochmal vereinfachen.
>  >  >  >  
> > > >
>  >  >  Ok danke hier meine Rechnung:
>  >  >  [mm]c_k=-\pi \frac{1}{-ik}e^{ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}-\frac{1}{(ik)^2}e^{ik\pi}+\pi\frac{1}{-ik}e^{-ik\pi}-\frac{1}{(ik)^2}e^{-ik\pi}+\frac{1}{(ik)^2}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > >
> >
> [mm]=-\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)+isin(\pi*k))+\pi*i*\frac{1}{k}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))+\frac{1}{k^2}*(cos(\pi*k)-isin(\pi*k))-\frac{1}{k^2}[/mm]
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)[/mm]
>  >  >  Weiter kriege ich es nicht vereinfacht.
>  >  >  
> >
> >
> > Das kannst Du noch weitervereinfachen.
>  >  
> > Es gilt nämlich:
>  >  
> > [mm]\sin\left(k*\pi\right)=0, \ k \in \IZ[/mm]
>  >  
> > [mm]\cos\left(k*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}, \ k \in \IZ[/mm]
>  
> >  

> >
> Ach ja :)
>  dann komme ich zu
> [mm]c_k=\pi*\frac{2}{k}*sin(\pi*k)-\frac{2}{k^2}+\frac{2}{k^2}*cos(\pi*k)=\frac{2}{k^2}*((-1)^k-1)[/mm]
>  
> Allerdings habe ich jetzt wieder das Problem,
> dass ja gilt:
>  
> [mm]f(x)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}c_k*e^{ikx}=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2}{k^2}*((-1)^k-1)*e^{ikx}[/mm]
>  Wie kriege ich denn dort das i weg?
>  


Addiere doch mal das (-k).te Glied und das k.te Glied.


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr

Achso ja [mm] $e^{ikx}+e^{-ikx}=2cos(k*x)$ [/mm]
und bei geraden k´s wird es ja 0 nicht wahr?
Aber ich habe leider keine ahnung wie ich das nun in die Summe unterbringen kann :(

Bezug
                                                                        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Mi 23.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ralfr,

> Achso ja [mm]e^{ikx}+e^{-ikx}=2cos(k*x)[/mm]
>  und bei geraden k´s wird es ja 0 nicht wahr?
>  Aber ich habe leider keine ahnung wie ich das nun in die
> Summe unterbringen kann :(


Für  [mm]k\not=0[/mm] hast Du die Koeffizienten der Fourierreihe schon errechnet.

Es ergibt sich doch dann:

[mm]f\left(x\right)=c_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}2*\left(c_{-k}+c_{k}\right)\cos\left(k*x\right)[/mm]


Gruss
MathePower



Bezug
                                                                                
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mi 23.01.2013
Autor: ralfr


> Hallo ralfr,
>  
> > Achso ja [mm]e^{ikx}+e^{-ikx}=2cos(k*x)[/mm]
>  >  und bei geraden k´s wird es ja 0 nicht wahr?
>  >  Aber ich habe leider keine ahnung wie ich das nun in
> die
> > Summe unterbringen kann :(
>
>
> Für  [mm]k\not=0[/mm] hast Du die Koeffizienten der Fourierreihe
> schon errechnet.
>  
> Es ergibt sich doch dann:
>  
> [mm]f\left(x\right)=c_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}2*\left(c_{-k}+c_{k}\right)\cos\left(k*x\right)[/mm]
>  
>

Achso ok :) ich wusste nicht, wie man soetwas jetzt am klügsten umformt. [mm] $c_0$ [/mm] Kann man ja weglassen, da dies 0 ergibt ?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Fourierreihe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:53 Do 24.01.2013
Autor: fred97


> > Hallo ralfr,
>  >  
> > > Achso ja [mm]e^{ikx}+e^{-ikx}=2cos(k*x)[/mm]
>  >  >  und bei geraden k´s wird es ja 0 nicht wahr?
>  >  >  Aber ich habe leider keine ahnung wie ich das nun in
> > die
> > > Summe unterbringen kann :(
> >
> >
> > Für  [mm]k\not=0[/mm] hast Du die Koeffizienten der Fourierreihe
> > schon errechnet.
>  >  
> > Es ergibt sich doch dann:
>  >  
> >
> [mm]f\left(x\right)=c_{0}+\summe_{k=1}^{\infty}2*\left(c_{-k}+c_{k}\right)\cos\left(k*x\right)[/mm]
>  >  
> >
> Achso ok :) ich wusste nicht, wie man soetwas jetzt am
> klügsten umformt. [mm]c_0[/mm] Kann man ja weglassen, da dies 0
> ergibt ?


Für  k=0 ist [mm] c_{-k}+c_{k}=2c_0 [/mm]


FRED


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