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Forum "Fourier-Transformation" - Fourierreihe aufstellen
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Fourierreihe aufstellen: Vergleich zweier Lgs.-Ansätze
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Sa 30.11.2013
Autor: stromberg09

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} -\pi-x, & \mbox{für } -\pi und [mm] f(x)=f(x+2\pi) [/mm]

Ich habe die Fourierreihe auf zwei verschiedene Arten berechnet:
Bei beiden Varianten bin ich davon ausgegangen, dass [mm] a_{n}=0 [/mm] ist, da eine punktsymmetrische Funktion vorliegt, sprich eine ungerade Funktion.

Bei der ersten Variante habe ich [mm] b_{n} [/mm] wie folgt berechnet:

[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{-\pi/2}{(-\pi-x)sin(nx) dx}+\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{x sin(nx) dx}+\integral_{\pi/2}^{\pi}{(\pi-x)sin(nx) dx})=\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2}) [/mm]

Das Ergebnis wurde soweit mit Maple überprüft.

Damit lautet die Fourierreihe

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2})sin(nx) [/mm]

Bei der zweiten Variante habe ich die Symmetrie der Funktion ausgenutzt:
[mm] b_{n}=\bruch{2}{\pi} \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{x sin(nx) dx}=\bruch{2}{n}cos(\bruch{n \pi}{2})+\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2}) [/mm]

Auch dieses Ergebnis wurde nochmals mit Maple nachgerechnet.

Damit lautet die Fourierreihe

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{2}{n}cos(\bruch{n \pi}{2})+\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2}))sin(nx) [/mm]

Nun habe ich zwei verschiedene Ergebnisse für die Fourierreihe, obwohl bei beiden die Gleiche Funktion vorliegt. Ich konnte auch bei mehrmaliger Überprüfung keinen Fehler entdecken.
Kann mir jemand bei diesem Problem weiterhelfen?

________________________________________________

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Fourierreihe aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Sa 30.11.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

ich habe nicht alles nachgerechnet. Du sagtest ja, dass du mit Maple alles nachgeprüft hast.

> Gegeben ist die Funktion
>  [mm]f(x)=\begin{cases} -\pi-x, & \mbox{für } -\pi
>  
> und [mm]f(x)=f(x+2\pi)[/mm]
>  Ich habe die Fourierreihe auf zwei verschiedene Arten
> berechnet:
>  Bei beiden Varianten bin ich davon ausgegangen, dass
> [mm]a_{n}=0[/mm] ist, da eine punktsymmetrische Funktion vorliegt,
> sprich eine ungerade Funktion.
>  
> Bei der ersten Variante habe ich [mm]b_{n}[/mm] wie folgt
> berechnet:
>  
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{-\pi/2}{(-\pi-x)sin(nx) dx}+\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{x sin(nx) dx}+\integral_{\pi/2}^{\pi}{(\pi-x)sin(nx) dx})=\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2})[/mm]
>  
> Das Ergebnis wurde soweit mit Maple überprüft.
>  
> Damit lautet die Fourierreihe
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2})sin(nx)[/mm]
>  
> Bei der zweiten Variante habe ich die Symmetrie der
> Funktion ausgenutzt:
>  [mm]b_{n}=\bruch{2}{\pi} \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{x sin(nx) dx}=\bruch{2}{n}cos(\bruch{n \pi}{2})+\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2})[/mm]
>  
> Auch dieses Ergebnis wurde nochmals mit Maple
> nachgerechnet.
>  
> Damit lautet die Fourierreihe
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{2}{n}cos(\bruch{n \pi}{2})+\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(\bruch{n \pi}{2}))sin(nx)[/mm]

Was ist denn [mm] \cos(\pi/2) [/mm] ? Und was ist [mm] \cos(3\pi/2)? [/mm]
Dann bleiben nur noch die geraden n zu überprüfen. Aber da wechselt ständig das Vorzeichen. Diese Terme heben sich glücklicherweise immer wieder weg. Von daher sehe ich keinen Fehler in den Rechnungen.

>  
> Nun habe ich zwei verschiedene Ergebnisse für die
> Fourierreihe, obwohl bei beiden die Gleiche Funktion
> vorliegt. Ich konnte auch bei mehrmaliger Überprüfung
> keinen Fehler entdecken.
> Kann mir jemand bei diesem Problem weiterhelfen?
>  
> ________________________________________________
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Fourierreihe aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 30.11.2013
Autor: stromberg09

Den Gedanken hatte ich auch schon. Das Problem ist aber bei den geraden n, dass das 2/n vor dem Kosinus steht. Dadurch heben sich die Zahlen nicht immer gegenseitig komplett auf.

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe aufstellen: Mein Fehler!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Sa 30.11.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

ohja! Sorry, das hatte ich nicht beachtet. Da steckt der Fehler doch etwas tiefer.

Da muss ich aber noch einmal in Ruhe schauen. Also setze mich da nochmal dran. Die Frist war ja noch ca. eine Woche. Vielleicht hilft ja auch jemand anderes noch einmal.

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 01.12.2013
Autor: Infinit

Hallo,
da fehlt ein Anteil, wie ich weiter unten beschrieben habe.
VG,
Infinit

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Bezug
Fourierreihe aufstellen: Abfallender Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 01.12.2013
Autor: Infinit

Hallo Stromberg,
aus uralten Zeiten kommt mir die Lösung Deiner Fourierreihendarstellung noch bekannt vor. Bei Deinem zweiten Ansatz wolltest Du ja die Punktsymmetrie der Funktion ausnutzen, die finde ich aber nicht.
Die Integrationgrenzen müssten von 0 bis Pi laufen mit dem ansteigenden und dann an Pi/2 wieder abfallenden Kurventeil. Auf Deutsch gesagt, da fehlt ein Term.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
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Fourierreihe aufstellen: Problem gelöst - Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 So 01.12.2013
Autor: stromberg09

Erstmal vielen Dank an euch beide für eure Hilfe.
Ich habe es mit deinem Ansatz gerade nochmal nachgerechnet:

[mm] b_{n}= \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi/2}{x sin(nx) dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{\pi/2}^{\pi}{(\pi-x) sin(nx) dx}=\bruch{4}{\pi n^{2}}sin(n \bruch{\pi}{2}) [/mm]

Damit komme ich dann auch auf dasselbe Ergebnis.

Manchmal reicht doch einfach eine einfache Skizze zur Lösung des Problems aus. :-)

Danke für die Hilfe.


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