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Fourierreihe Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Do 06.03.2014
Autor: racy90

Hallo

Ich soll bei einer Aufgabe  die Funktion g(x) = | x | vom Intervall [mm] [-\pi ,\pi] [/mm] periodisch auf ganz R fort in eine Fourierreihe entwickeln

Das habe ich gemacht

f(x)= [mm] \bruch{\pi}{2}+\bruch{-2}{k^2 \pi}*(-1-(-1)^k)*cos(kx) [/mm]

Nun soll ich noch angeben gegen welchen Wert die Fourierreihe an der Stelle [mm] x=\pi [/mm] konvergiert.

Wie genau soll ich das machen? Soll ich einfach [mm] x=\pi [/mm] in f(x) einsetzen aber für welches k?

        
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Do 06.03.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo
>  
> Ich soll bei einer Aufgabe  die Funktion g(x) = | x | vom
> Intervall [mm][-\pi ,\pi][/mm] periodisch auf ganz R fort in eine
> Fourierreihe entwickeln
>  
> Das habe ich gemacht
>  
> f(x)= [mm]\bruch{\pi}{2}+\bruch{-2}{k^2 \pi}*(-1-(-1)^k)*cos(kx)[/mm]

Ja, aber wie eine Reihe sieht das doch keineswegs aus. Irgendwo sollte zumindest noch ein Summenzeichen auftauchen. Das solltest du also noch einmal überarbeiten.

>  
> Nun soll ich noch angeben gegen welchen Wert die
> Fourierreihe an der Stelle [mm]x=\pi[/mm] konvergiert.
>  
> Wie genau soll ich das machen? Soll ich einfach [mm]x=\pi[/mm] in
> f(x) einsetzen aber für welches k?

Ja, dann setzte du in die Fourierreihendarstellung einfach [mm] x=\pi. [/mm] Dann hast du eine Reihe dessen Wert du bestimmen sollst.


Bezug
                
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 Fr 07.03.2014
Autor: racy90

okay dann halt so:

f(x)= [mm] \bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(-1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx) [/mm]

Wenn ich nun [mm] x=\pi [/mm] setze
sieht es doch so aus


f(x)= [mm] \bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(-1-(-1)^k)\cdot{}cos(k \pi) [/mm]

Aber gegen welchen Wert konvergiert diese Reihe ? Ich komme einfach nicht drauf

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 Fr 07.03.2014
Autor: fred97


> okay dann halt so:
>  
> f(x)= [mm]\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(-1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx)[/mm]

Das stimmt nicht. Richtig ist  

[mm]\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx)[/mm].

Auch mit f(x)=.... wäre ich vorsichtig, denn über die Konvergenzeigenschaften obiger Reihe wissen wir noch nichts !


>  
> Wenn ich nun [mm]x=\pi[/mm] setze
>   sieht es doch so aus
>  
>
> f(x)= [mm]\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(-1-(-1)^k)\cdot{}cos(k \pi)[/mm]

Nein. so sieht das nicht aus !

Wenn Du [mm] \pi [/mm] in die (richtige) Reihenentwicklung einstzt, bekommst Du zunächst die Reihe

    [mm] \bruch{\pi}{2}+\bruch{4}{\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2} [/mm]


Die Aufgabe (so vermute ich) dient u.a. dazu, den Wert der Reihe

       [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2} [/mm]

zu ermitteln.

Sei nun f die $2 [mm] \pi$ [/mm] - periodische Fortsetzung von $|x|$ auf [mm] \IR. [/mm]

Nun gibt es eine Fülle von Sätzen, die Aussagen machen über die Konvergenz einer Fourierentwicklung (punktweise, gleichmaäßig, wogegen,....)

Welche Ihr davon hattet kann ich nicht wissen. Aber einer war sicher  dabei, aus dem Du folgern für obiges f folgern kannst:

[mm]f(x)=\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx)[/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

Für x= [mm] \pi [/mm] liefert das

   [mm] $\pi=| \pi|=f(\pi)=\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(k *\pi)= \bruch{\pi}{2}+\bruch{4}{\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}$ [/mm]


Also:  

[mm] $\pi=\bruch{\pi}{2}+\bruch{4}{\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}$. [/mm]


Und das liefert Dir das wunderschöne Resultat

      [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}=\bruch{\pi^2}{8}$ [/mm]


Ist das nicht ganz allerliebst ?

Dein FRED

  

>  
> Aber gegen welchen Wert konvergiert diese Reihe ? Ich komme
> einfach nicht drauf


Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 Fr 07.03.2014
Autor: racy90

Wie kommst von diesen Ausdruck auf den nächsten?

$ [mm] \bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx) [/mm] $.


> Wenn ich nun $ [mm] x=\pi [/mm] $ setze


    $ [mm] \bruch{\pi}{2}+\bruch{4}{\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2} [/mm] $

Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 Fr 07.03.2014
Autor: fred97


> Wie kommst von diesen Ausdruck auf den nächsten?
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx) [/mm].
>  
>
> > Wenn ich nun [mm]x=\pi[/mm] setze
>  
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}+\bruch{4}{\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}[/mm]


Setzen wir zur Abkürzung

[mm] c_k(x)=\bruch{-2}{k^2 \pi}\cdot{}(1-(-1)^k)\cdot{}cos(kx) [/mm]

Ist k gerade, so ist [mm] c_k(x)=0. [/mm]

Ist k ungerade, also k=2n-1 mit einem n [mm] \in \IN, [/mm] so ist

   [mm] c_k(x)=c_{2n-1}(x)=-\bruch{4}{(2n-1)^2 \pi}\cdot{}cos((2n-1)x) [/mm]

Was ist    $cos((2n-1) * [mm] \pi)$ [/mm] ? Das: $cos((2n-1) * [mm] \pi)=-1$ [/mm]

Dein FRED

Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Fr 07.03.2014
Autor: Richie1401


> Und das liefert Dir das wunderschöne Resultat
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}=\bruch{\pi^2}{8}[/mm]
>  
>
> Ist das nicht ganz allerliebst ?

So schön, dass es mir gerade die Tränen in die Augen treibt.

http://spikedmath.com/comics/499-beauty.png

>  
> Dein FRED
>  
>
> >  

> > Aber gegen welchen Wert konvergiert diese Reihe ? Ich komme
> > einfach nicht drauf
>  


Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Fr 07.03.2014
Autor: fred97


> > Und das liefert Dir das wunderschöne Resultat
>  >  
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)^2}=\bruch{\pi^2}{8}[/mm]
>  >  
> >
> > Ist das nicht ganz allerliebst ?
>  
> So schön, dass es mir gerade die Tränen in die Augen
> treibt.

Hallo Richie,

jetzt bin ich im Bilde über Deine

[]Identität

Gruß FREUD

> http://spikedmath.com/comics/499-beauty.png
>  
> >  

> > Dein FRED
>  >  
> >
> > >  

> > > Aber gegen welchen Wert konvergiert diese Reihe ? Ich komme
> > > einfach nicht drauf
> >  

>  


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