www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Fourier-Transformation" - Fourierreihe
Fourierreihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 27.05.2012
Autor: handballer1988

Aufgabe
Man berechne die Fourierreihe der Funktion

[mm] f(x)=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } -\pi \le x < 0 \\ \pi+k*x, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}, f_{(x\pm2*\pi} [/mm] = [mm] f_{(x)}, [/mm] k [mm] \in \IR [/mm]

Guten Abend!

Bei diesem Beispiel bin ich eigentlich schon relativ weit gekommen, und wollte nun fragen, ob jemand meine Rechnung kontrollieren könnte, da ich einfach nicht auf das Ergebniss der Lösung komme....

Also, zu meinen Schritten:

Da die Funktion weder gerade noch ungerade ist, werden von vorne weg keine Koeffizienten zu 0, d.H.: ich muss alle berechnen!

[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi dx}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)dx} [/mm]

[mm] a_{0}=\bruch{(k+4)*\pi}{2} [/mm]

[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(k*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * cos(k*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*cos(k*x) dx} [/mm]

[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2*sin(k*\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi} [/mm]

[mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*sin(k*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * sin(k*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*sin(k*x) dx} [/mm]

[mm] b_{k} [/mm] = [mm] \bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] - [mm] cos(k*\pi) [/mm]

Soweit so gut! Stimmt das alles bis hier her??

Nun lautet die Formel für die Fourierreihe ja:

[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] cos(k*x)+ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] sin(k*x)

eingesetzt:

[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{(k+4)*\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2*sin(k*\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi})*cos(k*x) [/mm] + [mm] +\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] - [mm] cos(k*\pi))*sin(k*x). [/mm]

Das wäre mal meine Lösung!

Lt. Professor sollte man zu folgendem Ergebnis kommen:

[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{(k+4)*\pi}{4}+(\bruch{2*k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)*x}{(2n-1)^{2}} [/mm] + k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n} [/mm]

Kann mir nun bitte jemand sagen, ob:

- meine Lösung stimmt,
- die zweite Lösung stimmt,
- wo ich einen Fehler gemacht habe,
- bzw. wie man die Fallunterscheidung für gerade und ungerade Koeffizienten (k) macht!


Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!

Schönen Abend!


        
Bezug
Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 27.05.2012
Autor: MathePower

Hallo handballer1988,

> Man berechne die Fourierreihe der Funktion
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } -\pi \le x < 0 \\ \pi+k*x, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}, f_{(x\pm2*\pi}[/mm]
> = [mm]f_{(x)},[/mm] k [mm]\in \IR[/mm]
>  Guten Abend!
>  
> Bei diesem Beispiel bin ich eigentlich schon relativ weit
> gekommen, und wollte nun fragen, ob jemand meine Rechnung
> kontrollieren könnte, da ich einfach nicht auf das
> Ergebniss der Lösung komme....
>  
> Also, zu meinen Schritten:
>  
> Da die Funktion weder gerade noch ungerade ist, werden von
> vorne weg keine Koeffizienten zu 0, d.H.: ich muss alle
> berechnen!
>  
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi dx}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)dx}[/mm]
>  
> [mm]a_{0}=\bruch{(k+4)*\pi}{2}[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(k*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * cos(k*x) dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*cos(k*x) dx}[/mm]
>  
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] + [mm]\bruch{2*sin(k*\pi)}{k}[/mm]
> + [mm]sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi}[/mm]
>  
> [mm]b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*sin(k*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * sin(k*x) dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*sin(k*x) dx}[/mm]
>  
> [mm]b_{k}[/mm] = [mm]\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] - [mm]cos(k*\pi)[/mm]
>  
> Soweit so gut! Stimmt das alles bis hier her??
>  
> Nun lautet die Formel für die Fourierreihe ja:
>  
> [mm]S_{x}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> cos(k*x)+ [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_{k}[/mm] sin(k*x)
>  
> eingesetzt:
>  
> [mm]S_{x}[/mm] = [mm]\bruch{(k+4)*\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi}[/mm]
> + [mm]\bruch{2*sin(k*\pi)}{k}[/mm] + [mm]sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi})*cos(k*x)[/mm]
> + [mm]+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] -
> [mm]cos(k*\pi))*sin(k*x).[/mm]
>  
> Das wäre mal meine Lösung!
>  


Die Lösung stimmt soweit.


> Lt. Professor sollte man zu folgendem Ergebnis kommen:
>  
> [mm]S_{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+4)*\pi}{4}+(\bruch{2*k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)*x}{(2n-1)^{2}}[/mm]
> + k [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n}[/mm]
>  
> Kann mir nun bitte jemand sagen, ob:
>  
> - meine Lösung stimmt,
>  - die zweite Lösung stimmt,


Bei der Lösung des Profs wurde eine Fallunterscheidung
hinsichtlich des Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] gemacht.




>  - wo ich einen Fehler gemacht habe,


Fehler hast Du keinen gemacht.


> - bzw. wie man die Fallunterscheidung für gerade und
> ungerade Koeffizienten (k) macht!
>  


Einsetzen und schauen, was sich ergibt.


>
> Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!
>  
> Schönen Abend!

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 So 27.05.2012
Autor: handballer1988

Hallo!

Vielen Dank! Nun kann ich den Abend beruhigt genießen!

Eine Frage noch:

Könntest du mir in groben Zügen erklären, wie das mit der Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Koeffizienten funktioniert.

Wie man z.B.: von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} [/mm] +  [mm] \bruch{2\cdot{}sin(k\cdot{}\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k\cdot{}\pi)- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x) [/mm] auf [mm] (\bruch{2\cdot{}k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)\cdot{}x}{(2n-1)^{2}} [/mm]

oder wie man von  [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} -cos(k\cdot{}\pi))\cdot{}sin(k\cdot{}x) [/mm] auf k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n} [/mm] kommt!

Hätte mir die Frage gerne selbst beantwortet, nur leider finde ich weder in meinem Skript noch im Internet irgendwelche wertvollen Hinweise!

Danke für deine Hilfe!

Schönen Abend noch,

lg


Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 So 27.05.2012
Autor: MathePower

Hallo handballer1988,

> Hallo!
>  
> Vielen Dank! Nun kann ich den Abend beruhigt genießen!
>  
> Eine Frage noch:
>  
> Könntest du mir in groben Zügen erklären, wie das mit
> der Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden
> Koeffizienten funktioniert.
>  
> Wie man z.B.: von [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi}[/mm]
> +  [mm]\bruch{2\cdot{}sin(k\cdot{}\pi)}{k}[/mm] + [mm]sin(k\cdot{}\pi)- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x)[/mm]
> auf [mm](\bruch{2\cdot{}k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)\cdot{}x}{(2n-1)^{2}}[/mm]
>
> oder wie man von  [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} -cos(k\cdot{}\pi))\cdot{}sin(k\cdot{}x)[/mm]
> auf k [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n}[/mm]
> kommt!
>  


Zunächst ist [mm]\sin\left(k*\pi\right)=0, \ k \in \IZ[/mm]

Damit vereinfachen sich die genannten Ausrdücke:

[mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi}- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x)[/mm]

bzw.

[mm]\summe_{k=1}^{\infty} ( \ -cos(k\cdot{}\pi) \ )\cdot{}sin(k\cdot{}x)[/mm]

Dann gilt [mm]\cos\left(k*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}, \ k \in \IZ[/mm]

Damit kannst Du die Fallunterscheidung zu Ende bringen.


> Hätte mir die Frage gerne selbst beantwortet, nur leider
> finde ich weder in meinem Skript noch im Internet
> irgendwelche wertvollen Hinweise!
>  
> Danke für deine Hilfe!
>  
> Schönen Abend noch,
>  
> lg

>


Gruss
MathePower  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de