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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mi 27.08.2014
Autor: RunOrVeith

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine 2 [mm] \pi [/mm] periodische Funktion, die auf [mm] [-\pi,\pi) [/mm] gegeben ist durch:
f(x)= -x, falls x [mm] \in [-\pi,0) [/mm]
       0, falls x [mm] \in [0,\pi) [/mm]
(Andere Formatierung will irgendwie nicht)

Berechnen sie die Reelle Fourierreihe [mm] s_f [/mm] von f.


Ich habe die Musterlösung vor mir und komme auch weitgehend auf das gleiche Ergebnis, nur bei einer Sache brauche ich Hilfe.
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \pi/2 [/mm]   , das habe ich auch
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2*\pi}*(-1+(-1)^n) [/mm]   ,das habe ich auch.
[mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm]  , da habe ich etwas leicht anderes.
Mein Rechenweg:

[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x*sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x*sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\pi}*([x*cos(nx)*\bruch{1}{n} ]^0_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx)*\bruch{1}{n} dx} [/mm] =
- [mm] \bruch{1}{n\pi}*((0-((-\pi)*(-1)^n) [/mm] - 0 ) =
- [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm]

Laut Musterlösung ist der Schritt
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{n\pi}*([-x*cos(nx)] ^0_{\pi}+\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx) dx}) [/mm]
Genau das macht den Unterschied im Vorzeichen aus am Ende, leider komme ich einfach nicht darauf, was bei mir falsch ist.
Der Rest ist ja dann einfach noch:
[mm] s_f(x)= \bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n *cos(nx)+b_n*sin(nx)) [/mm]

Vielen Dank für die Hilfe!

        
Bezug
Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 27.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine 2 [mm]\pi[/mm] periodische Funktion, die auf
> [mm][-\pi,\pi)[/mm] gegeben ist durch:
>  f(x)= -x, falls x [mm]\in [-\pi,0)[/mm]
>         0, falls x [mm]\in [0,\pi)[/mm]
>  
> (Andere Formatierung will irgendwie nicht)
>  
> Berechnen sie die Reelle Fourierreihe [mm]s_f[/mm] von f.
>  
> Ich habe die Musterlösung vor mir und komme auch
> weitgehend auf das gleiche Ergebnis, nur bei einer Sache
> brauche ich Hilfe.
>  [mm]a_0[/mm] = [mm]\pi/2[/mm]   , das habe ich auch
>  [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2*\pi}*(-1+(-1)^n)[/mm]   ,das habe ich
> auch.
>  [mm]b_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]  , da habe ich etwas leicht
> anderes.
>  Mein Rechenweg:
>  
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x*sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x*sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{\pi}*([x*cos(nx)*\bruch{1}{n} ]^0_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx)*\bruch{1}{n} dx}\red{)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



wie Du selbst unten schreibst, machst Du hier den Fehler. Ich berechne
mal

    $\int x*\sin(nx)dx$

per partieller Integration:
Eine Stammfunktion von $x \mapsto \sin(n*x)$ ist $x \mapsto \red{-\,}\frac{1}{n}\cos(nx)$ (beachte $\cos'=\red {-\;}\sin$) und
daher

    $\int x\sin(nx)dx=\left[x*\frac{\red{-1}}{n}\cos(nx)}\right]-\int \underbrace{(x)'}_{=\red{+\,}1}*\frac{\red{-1}}{n}\cos(nx)dx$

Vielleicht bist Du ein wenig durcheinandergekommen und hast mit $(-x)\,$ an
einer Stelle gearbeitet, wo eigentlich "$(x)\,$" hingehört?

> =
> - [mm]\bruch{1}{n\pi}*((0-((-\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0 ) =
>  - [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
>  
> Laut Musterlösung ist der Schritt
>  [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{n\pi}*([-x*cos(nx)] ^0_{\pi}+\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx) dx})[/mm]

So ist das korrekt, siehe oben!
(Allerdings erst, wie Du es oben schreibst:

    [mm] $\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}=\red{\,-\,}\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x *sin(nx) dx}$ [/mm]

schreiben und dann partiell integrieren. Auch, wenn das so nicht direkt
nötig wäre und man auch direkt

    [mm] $\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}$ [/mm]

partiell integrieren könnte!)

Gruß,
  Marcel

> Genau das macht den Unterschied im Vorzeichen aus am Ende,
> leider komme ich einfach nicht darauf, was bei mir falsch
> ist.
> Der Rest ist ja dann einfach noch:
>  [mm]s_f(x)= \bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n *cos(nx)+b_n*sin(nx))[/mm]
>  
> Vielen Dank für die Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Fourierkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Mi 27.08.2014
Autor: RunOrVeith

Vielen Dank, das ist natürlich einleuchtend. Komisch, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin, wenn man den ganzen Tag nichts anderes macht steht man wohl manchmal auf dem Schlauch :)

Schönen Tag noch!

Bezug
                        
Bezug
Fourierkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mi 27.08.2014
Autor: Marcel

Hi,

> Vielen Dank, das ist natürlich einleuchtend.

gerne.

> Komisch, dass
> ich da nicht selbst drauf gekommen bin, wenn man den ganzen
> Tag nichts anderes macht steht man wohl manchmal auf dem
> Schlauch :)

Naja, diesbezüglich gibt es nur drei Ratschläge:
1. Die Sachen einfach mal weglegen, etwas ganz anderes machen und zu
einem späteren Zeitpunkt nochmal draufgucken (evtl. gar an einem
anderen Tag). Dann hat man nicht das Problem, dass das Gehirn sich an
die gleichen Gedanken gewöhnt hat und man ein und den selben Fehler
immer wieder wiederholt.

2. Alle Schritte detailliert aufschreiben. So sieht man evtl. durch das
Aufschreiben eines Zwischenschritts, welchen Gedankenfehler man
ständig gemacht hat.

3. Jemand anderen fragen und drübergucken lassen. ;-)
  

> Schönen Tag noch!

Dir auch, Danke!

Gruß,
  Marcel

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