Fourier period. Dreieckfkt. < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Di 13.05.2014 | | Autor: | radiac |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourierreihe der mit der Periode 2 fortgesetzten Dreieckfunktion in reeller Darstellung:
[mm] f(t)=\begin{cases} 1-|t|, & \mbox{für } |t|<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] |
Ok, ich muss zugeben das es für mich echt ne harte Nuss ist. Zu berechnen ist die Fourierreihe der Funktion. Theoretisch kann man (wenn man es vor sich hat) sehen, dass der Koeffizient [mm] a_{0} [/mm] = 0.5 sein sollte. Ich bekomme es aber nicht gerechnet.
Wenn ich nur den 1. Fall rechne, als 1-|t| gehe ich wie folgt vor:
(Periode ist dann der Länge 2 von -1 bis 1)
[mm] \bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{1-|t| dt}
[/mm]
das ergibt dann bei mir:
[mm] \bruch{a_{0}}{2}=-\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{|t| dt} [/mm] (1-(-1))*-1
(Vorzeichen vorgeholt und das -1 mit den Grenzen multipliziert)
Als Stammfunktion für |x| nehme ich [mm] \bruch{t*|t|}{2}, [/mm] sodass:
[mm] \bruch{a_{0}}{2}=-\bruch{1}{2} [\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] ] -2
und damit
[mm] \bruch{a_{0}}{2}= -\bruch{1}{2} [/mm] -2 = -5
Das ist nur leider nicht das erwartete Ergebnis :-\
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo radiac,
> Bestimmen Sie die Fourierreihe der mit der Periode 2
> fortgesetzten Dreieckfunktion in reeller Darstellung:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 1-|t|, & \mbox{für } |t|<1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Ok, ich muss zugeben das es für mich echt ne harte Nuss
> ist. Zu berechnen ist die Fourierreihe der Funktion.
> Theoretisch kann man (wenn man es vor sich hat) sehen, dass
> der Koeffizient [mm]a_{0}[/mm] = 0.5 sein sollte. Ich bekomme es
> aber nicht gerechnet.
>
> Wenn ich nur den 1. Fall rechne, als 1-|t| gehe ich wie
> folgt vor:
> (Periode ist dann der Länge 2 von -1 bis 1)
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{1-|t| dt}[/mm]
>
> das ergibt dann bei mir:
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}=-\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{|t| dt}[/mm]
> (1-(-1))*-1
>
> (Vorzeichen vorgeholt und das -1 mit den Grenzen
> multipliziert)
>
> Als Stammfunktion für |x| nehme ich [mm]\bruch{t*|t|}{2},[/mm]
> sodass:
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}=-\bruch{1}{2} [\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] ] -2
>
> und damit
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}= -\bruch{1}{2}[/mm] -2 = -5
>
> Das ist nur leider nicht das erwartete Ergebnis :-\
>
Berechne doch einfach
[mm]\bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{1-|t| dt}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{0}{\left(1+t\right) \ dt}+\bruch{1}{2} \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt}
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Mi 14.05.2014 | | Autor: | radiac |
Also ich hab das jetzt auch berechnet, auf verschiedene Weise und komme, so dumm das klingen mag, jedes mal auf ein anderes Ergebnis [mm] :-\
[/mm]
Was sagt denn dieser [mm] a_{0} [/mm] Koeffizient eigentlich aus? Ich dachte es wäre der Mittelwert der "Ausschläge", in meinem Fall müsste er demnach 0,5 sein. Nur komme ich eben nicht auf dieses Ergebnis.
Theoretisch müsste es ja auch reichen wenn ich bei deinem Vorschlag
$ [mm] \bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{1-|t| dt}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{0}{\left(1+t\right) \ dt}+\bruch{1}{2} \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt} [/mm] $
den hinteren Teil einfach zusammenfasse da es ja eine symmetrische Funktion ist:
$ [mm] \bruch{a_{0}}{2}= \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt} [/mm] $
(Also zwei mal den hinteren Teil)
$ [mm] \bruch{a_{0}}{2}= \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt} [/mm] $
ergibt
$ [mm] \bruch{a_{0}}{2}= [/mm] 1- [mm] \bruch{1²}{2} [/mm] = 1
Aber ist denn 1 richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab das jetzt auch berechnet, auf verschiedene
> Weise und komme, so dumm das klingen mag, jedes mal auf ein
> anderes Ergebnis [mm]:-\[/mm]
>
> Was sagt denn dieser [mm]a_{0}[/mm] Koeffizient eigentlich aus? Ich
> dachte es wäre der Mittelwert der "Ausschläge", in meinem
> Fall müsste er demnach 0,5 sein. Nur komme ich eben nicht
> auf dieses Ergebnis.
>
> Theoretisch müsste es ja auch reichen wenn ich bei deinem
> Vorschlag
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{1-|t| dt}=\bruch{1}{2} \integral_{-1}^{0}{\left(1+t\right) \ dt}+\bruch{1}{2} \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt}[/mm]
>
> den hinteren Teil einfach zusammenfasse da es ja eine
> symmetrische Funktion ist:
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}= \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt}[/mm]
>
> (Also zwei mal den hinteren Teil)
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}= \integral_{0}^{1}{\left(1-t\right) \ dt}[/mm]
>
> ergibt
>
> $ [mm]\bruch{a_{0}}{2}=[/mm] 1- [mm]\bruch{1²}{2}[/mm] = 1
Das letzte "=" stimmt doch nicht !
Es ist [mm] \bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] a_0=1.
[/mm]
FRED
>
> Aber ist denn 1 richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Mi 14.05.2014 | | Autor: | radiac |
Ja ich hatte das etwas sehr gekürzt, also ich meinte ja das [mm] a_{0} [/mm] 1 ist.
Ich habe mir das ganze jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen und indem ich das Integral berechne, erhalte ich ja die Fläche des "Dreiecks" und die ist ja theoretisch auch 1. Mathe ist schon so lange her ....
Vielleicht noch eine letzte Frage, wenn ich das Dreieck nun beliebig verschiebe, dürfte sich der Wert für [mm] a_{0} [/mm] ja dementsprechend nicht ändern?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 14.05.2014 | | Autor: | radiac |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hab es jetzt gewissenhaft und mal in Ruhe durchgerechnet, komme jetzt immer auf [mm] a_{0}=1 [/mm] was ja passen sollte! Vielen Dank schonmal dafür!
Hab mich jetzt an [mm] a_{n} [/mm] probiert, aber hier scheint partielle Integration ins Spiel zu kommen.
Ich gehe von der allg. Form aus:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{T} \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{f(x) cos (nwx) dx}
[/mm]
und erhalte nach einsetzen erst einmal:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} \integral_{-1}^{1}{(1-|x|) cos (nwx) dx}
[/mm]
Wie würdet ihr jetzt vorgehen? Ich könnte das Integral ja erst einmal "ausmultiplizieren und dann ins zwei Integrale teilen:
[mm] a_{n} =\integral_{-1}^{1}{cos (nwx) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{1}{|x| cos (nwx) dx}
[/mm]
Dann scheitert es mir aber den Versuchen der partiellen Integration des zweiten Integrals. Aber muss ich überhaupt soweit gehen? Kann ich an dieser Stelle vlt. schon die ersten Fourier-Koeffizienten ablesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe!
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> Ich hab es jetzt gewissenhaft und mal in Ruhe
> durchgerechnet, komme jetzt immer auf [mm]a_{0}=1[/mm] was ja passen
> sollte! Vielen Dank schonmal dafür!
>
> Hab mich jetzt an [mm]a_{n}[/mm] probiert, aber hier scheint
> partielle Integration ins Spiel zu kommen.
>
> Ich gehe von der allg. Form aus:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2}{T} \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{f(x) cos (nwx) dx}[/mm]
>
> und erhalte nach einsetzen erst einmal:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2}{2} \integral_{-1}^{1}{(1-|x|) cos (nwx) dx}[/mm]
Was ist denn $w$ ???
Die Funktion $x [mm] \to [/mm] (1-|x|)cos(nwx)$ ist gerade, also ist
$ [mm] \integral_{-1}^{1}{(1-|x|) cos (nwx) dx}=2* \integral_{0}^{1}{(1-x) cos (nwx) dx} [/mm] $
FRED
>
> Wie würdet ihr jetzt vorgehen? Ich könnte das Integral ja
> erst einmal "ausmultiplizieren und dann ins zwei Integrale
> teilen:
>
> [mm]a_{n} =\integral_{-1}^{1}{cos (nwx) dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{-1}^{1}{|x| cos (nwx) dx}[/mm]
>
> Dann scheitert es mir aber den Versuchen der partiellen
> Integration des zweiten Integrals. Aber muss ich überhaupt
> soweit gehen? Kann ich an dieser Stelle vlt. schon die
> ersten Fourier-Koeffizienten ablesen?
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 Mi 14.05.2014 | | Autor: | radiac |
Mit w ist die Kreisfrequenz gemeint.
Ich habe nun
[mm] 2\cdot{} \integral_{0}^{1}{(1-x) cos (nwx) dx} [/mm]
benutzt und dann in zwei Integrale aufgeteilt, sodass ich dann
[mm] 2\cdot{} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1}{ cos (nwx) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{|x| cos (nwx) dx} [/mm] )
erhalte. Das erste Integral sollte dann
[mm] \bruch{sin (nw)}{nw}
[/mm]
werden. Beim zweiten Integral komme ich dann schonwieder in Schwierigkeiten. Nach der partiellen Integration erhalte ich dafür
- [mm] \integral_{0}^{1}{|x| cos (nwx) dx} [/mm] = nw sind(nwx)|x| + [mm] \integral_{0}^{1}{-nw sin(nwx) dx}
[/mm]
Das wird zu
nw sin (nwx) |x| - nw [mm] [-\bruch{1}{nw} [/mm] cos(nw)
und dann zu
nw sin (nwx) |x| + cos(nw)
Zusammen mit dem 1. Integral erhalte ich dann
2 ( [mm] \bruch{sin (nw)}{nw} [/mm] + nw sin (nwx) |x| + cos(nw) )
(Das Minus zwischen den beiden Integralen ist wegen -sin beim ableiten zu einem Plus geworden)
Ich hab das ganze auch mal bei wolframalpha eingetippt (weiß ja nicht was ihr davon haltet). Dort komme ich jedoch auf
2 [mm] \bruch{1-cos(nw)}{(nw)²}
[/mm]
Dort fällt also die eigentliche Variable ganz weg :-\ Kann mir jemand erklären wo mein Fehler liegt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 16.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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