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Forum "Fourier-Transformation" - Fourier-Transformierte von sin
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Fourier-Transformierte von sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Di 19.03.2013
Autor: rtur

Aufgabe
Leiten Sie die Fourier-Transformierte von sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] * t) aus
ℱ{cos(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t ) } = [mm] \bruch{1}{2}( \delta(f [/mm] + [mm] f_{0}) [/mm] + [mm] \delta(f [/mm] - [mm] f_{0})) [/mm]
durch Differentiation her.




Hallo,

hier ist was ich bis jetzt habe:

[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] * cos(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t) = ( -2 * π * [mm] f_{0}) [/mm] * sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)

dann erhalte ich mit hilfe der Differentiationseigenschaft  und der Linearität

(i * 2 * π * f) * ℱ{cos(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t) } = ( -2 * π * [mm] f_{0}) [/mm] * ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t) }

nach der Fourier-Transformierten von sin umstellen

ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = -i * [mm] \bruch{f}{f_{0}} [/mm] * ℱ{cos(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t) }

die Fourier-Transformierte vom cos eingesetzt

ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * [mm] \bruch{f}{f_{0}} [/mm] ( [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]

Bis hierhin habe ich es noch aus eigener Kraft geschafft, dann die Musterlösung konsultiert. Nun verstehe ich nicht was in der Musterlösung passiert. Hier ist die Musterlösung:

(.. alles wie oben..)
ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{f}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]
ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] *  (- [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + * [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]
Und genau diese Stelle verstehe ich nicht, wohin verschwindet der Bruch und woher kommt das Minus beim ersten Dirac Impuls?

So ist bei uns der Dirac-Impuls definiert worden:
[mm] y(t_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ y(t) * \delta (t - t_{0}) dt} [/mm]

Ich habe mir ein paar mehr oder weniger sinnvolle (aber alle zusammen falsche ;-) ) Erklärungen zu warum man da einfach was wegfallen lassen kann zusammengebastelt aber bin immer noch nicht darauf gekommen.

Gruß
rtur

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Edit: Die Deltas wurden nicht richtig angezeigt, jetzt funktioniert es.
Edit2: Entschuldigung für die vielen Tippfehler, hab noch keine Erfahrung mit in html Formeln eintippen.. habe es nochmal durchgelesen, sollten (hoffe ich mal) alle Tippfehler (zumindest in den Formeln ;-) ) weg sein.

        
Bezug
Fourier-Transformierte von sin: Die Musterlösung ist Richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Di 19.03.2013
Autor: m_thur

Ich hab zwar leider im Moment keine Zeit das genauer zu erklären, bzw. die fehlenden Schritte niederzuschreiben, aber du bist auf dem Richtigen Weg und es fehlt die nur die Übergangsumformung zwischen deinem Gedanken und der Musterlösung.

Grundsätzlich kannst du dir merken, die Fourier-Transformierte einer Sinus (Cosinus) Schwingung ist der Dirac-Impuls und tatsächlich taucht dieser Impuls bei der Frequenz der Schwingung und bei der jeweiligen negativen Frequenz auf. Ob der Impuls bei der negativen Schwingung nun positiv oder negativ ist sagt etwas über die Phasenlage der Sinusförmigen Schwingung aus. (Cosinus beide Positiv, Sinus negativ/negativ positiv/positiv, -cos beide negativ, -sin negativ/positiv positiv/negativ).

Über die physikalisch technische Bedeutung einer Schwingung mit negativer Frequenz kann man lange diskutieren, aber Fakt ist, sie ist nicht nur eine "mathematische Begleiterscheinung". Dieses erkennt man spätestens, wenn man amplitudenmodulierte Signale betrachtet, hier erhält man nämlich ein oberes und ein unteres Seitenband durch das falten des Trägersignals mit dem Nutzsignal.
Wenn's dich interessiert schau mal bei Wikipedia Amplitudenmodulation nach, ist recht gut illustriert.

Markus

Bezug
                
Bezug
Fourier-Transformierte von sin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:11 Mi 20.03.2013
Autor: rtur

Danke für die Erklärung. Ich habe versucht die Informationen auf mein Problem zu übertragen war aber  wenig erfolgreich, habe noch keinen Einblick in die Materie. Aber ich werde es mir die Tage nochmal durchlesen, Amplitudenmodulation sieht spannend aus.

Ich denke ich habe mir eine leichtere Erklärung zu meinem Problem zusammengelegt.
Und zwar ist [mm] \delta [/mm] ( f - [mm] f_{0}) [/mm] die Funktion die überall gleich 0 außer
an der Stelle f = [mm] f_{0} [/mm] ist.
Das heißt ich muss lediglich einsetzen. Für den ersten Impuls muss f = - [mm] f_{0} [/mm] sein und für den zweiten f = [mm] f_{0} [/mm] , für jeden anderen Wert ist der [mm] \delta [/mm] - Impuls Null.

ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{f}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]
ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{-f_{0}}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f_{0}}{f_{0}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]
ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * ( -1 *  [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] + 1 * [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]
ℱ{sin(2 * π * [mm] f_{0} [/mm] *  t)} = [mm] \bruch{i}{2} [/mm] * ( [mm] \delta [/mm] (f + [mm] f_{0}) [/mm] - [mm] \delta [/mm] (f - [mm] f_{0})) [/mm]

Ich denke das müsste so stimmen.

Danke für deine Hilfe

Gruß
Artur

Bezug
                        
Bezug
Fourier-Transformierte von sin: Das siehst du richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Mi 20.03.2013
Autor: m_thur

So ist es, die Dirac-Funktion ist überall null, außer an der Stelle f-f0. Und die Vorzeichen haben halt etwas mit der Phasenlage des Signals zu tun. Deshalb empfiehlt es sich für die technische Praxis nach Möglichkeit eine Schwingung vor der Transformation derart in der Phase zu verschieben, dass es sich um eine Cos-Funktion handelt, denn dann sind beide Impulse positiv.

Vielleicht auch etwas zur Grundlegenden Idee hinter einer Fouriertransformation. Fourier ging davon aus, dass sich jede stetig Funktion in eine trigonometrische Reihe entwickeln lässt. Sprich vereinfacht jede Funktion lässt sich durch eine Summe von Cosinus-Schwingungen darstellen. Das Ergebnis der Transformation sagt mir also, welche Cosinus-Schwingungen ich mit welchem Gewicht miteinander addieren muss um meine ursprüngliche Funktion durch eine Summe von Schwingungen darzustellen.

Und somit ergibt sich die Rücktransformation der Transformierten von A * cos (2 [mm] \pi [/mm] f t) bildest zu A/2 * cos ( 2 [mm] \pi [/mm] f t) + A/2 * cos (2 [mm] \pi [/mm] -f t) und bei der Transformation von A * sin (2 [mm] \pi [/mm] f t) ergibt sich bei der Rücktransformation A/2 * sin (2 [mm] \pi [/mm] f t) - A/2 * sin (2 [mm] \pi [/mm] -f t). bzw. exakter ergibt sich  A/2 * cos (2 [mm] \pi [/mm] f t - [mm] \pi/2) [/mm] - A/2 * cos (2 [mm] \pi [/mm] -f t + [mm] \pi/2). [/mm]

Hoffe das hilft dir weiter... Ich habe mich damals im Studium irgendwann "geweigert" die Fourierintegrale jedesmal auszurechnen. Ich hatte ein "Tabellenbuch in dem zu verschiedenen Grundfunktionen die Transformierte tabelliert waren und es gibt bestimmte Rechenregeln... Die kann man einmal nachvollziehen und danach wird es eigentlich recht simpel... Viel Spass beim Nachvollziehen, hat mich damals viel Nerven gekostet, ist aber sehr praktisch, in vielen Feldern der Nachrichtentechnik, Informationstechnik, Elektrotechnik usw..., eigentlich immer wenn irgendwas schwingt, bzw. seinen Zustand verändert. Und zwar sowohl in kontinierlichen als auch in diskreten Systemen. Plötzlich versteht man auch, was eigentlich ein Anti-Aliasing-Filter eigentlich ist. Oder warum man wenn man ein Audiosignal mit dem Spektrum 0-22kHz mit mindestens 44 kHz abtasten sollte um eine saubere Wiedergabe zu ermöglichen. Das hat auch was mit der negativen Seite zu tun.

Viel Spaß dabei

Bezug
                                
Bezug
Fourier-Transformierte von sin: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mi 20.03.2013
Autor: rtur

Danke für die vielen Infos,
> Hoffe das hilft dir weiter...

bestimmt ;-), fühlt sich langsam an als würde sich der Schleier lüften (hoffentlich ist er bis zur Klausur weg xD ).
Wo gibt es hier eigentlich einen gelöst/schließen button ?

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