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Forum "Fourier-Transformation" - Fourier-Transformierte
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Fourier-Transformierte: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Sa 13.06.2009
Autor: McMuskel

Aufgabe
Bitte berechnen Sie die Fourier-Transformierte der folgenden Funktion:
[mm] f(t)=\begin{cases} A+\bruch{A}{t_{0}}\*t, & \mbox{für } -t_{0} \le t \le 0 \\ A-\bruch{A}{t_{0}}\*t, & \mbox{für } 0 \le t \le t_{0} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

Guten Abend erstmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe versucht die Aufgabe wie folgt zu lösen:

[mm] F(\omega)=\integral_{-\infty}^{0}{(A+\bruch{At}{t_{0}})\*e^{-j\omega t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{(A-\bruch{At}{t_{0}})\*e^{-j\omega t} dt} [/mm]

[mm] =A\*\integral_{-t_{0}}^{0}{e^{-j\omega t} dt}+\bruch{A}{t_{0}}\integral_{-t_{0}}^{0}{t\*e^{-j\omega t}dt}+A\*\integral_{0}^{t_{0}}{e^{-j\omega t} dt}-\bruch{A}{t_{0}}\integral_{0}^{t_{0}}{t\*e^{-j\omega t}dt} [/mm]

Die Integration von [mm] e^{-j\omega t} [/mm] liefert:
[mm] [\bruch{-e^{-j\omega t}}{j\omega}] [/mm]

Und die Integration von [mm] t\*e^{-j\omega t}: [/mm]
[mm] [\bruch{-t\*e^{-j\omega t}}{j\omega}]+[\bruch{e^{-j\omega t}}{\omega^{2}}] [/mm]

Letztendlich komme ich damit auf das falsche Ergebnis:

[mm] F(\omega)=\bruch{2A\*(e^{j\omega t_{0}}-e^{-j\omega t_{0}})}{j\omega}+\bruch{e^{-j\omega t_{0}}-e^{j\omega t_{0}}}{\omega^{2}} [/mm]

Das richtige Ergebnis laut Lösungsblatt ist:
[mm] F(\omega)=\bruch{2A}{t_{0}\*\omega^{2}}\*(1-cos(\omega t_{0})) [/mm]


Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob mein Ansatz richtig ist oder wo ich nen Fehler gemacht habe.
mfg

        
Bezug
Fourier-Transformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:43 So 14.06.2009
Autor: MathePower

Hallo McMuskel,

> Bitte berechnen Sie die Fourier-Transformierte der
> folgenden Funktion:
>  [mm]f(t)=\begin{cases} A+\bruch{A}{t_{0}}\*t, & \mbox{für } -t_{0} \le t \le 0 \\ A-\bruch{A}{t_{0}}\*t, & \mbox{für } 0 \le t \le t_{0} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>  
> Guten Abend erstmal.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich habe versucht die Aufgabe wie folgt zu lösen:
>  
> [mm]F(\omega)=\integral_{-\infty}^{0}{(A+\bruch{At}{t_{0}})\*e^{-j\omega t} dt}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{\infty}{(A-\bruch{At}{t_{0}})\*e^{-j\omega t} dt}[/mm]
>  
> [mm]=A\*\integral_{-t_{0}}^{0}{e^{-j\omega t} dt}+\bruch{A}{t_{0}}\integral_{-t_{0}}^{0}{t\*e^{-j\omega t}dt}+A\*\integral_{0}^{t_{0}}{e^{-j\omega t} dt}-\bruch{A}{t_{0}}\integral_{0}^{t_{0}}{t\*e^{-j\omega t}dt}[/mm]
>  
> Die Integration von [mm]e^{-j\omega t}[/mm] liefert:
>  [mm][\bruch{-e^{-j\omega t}}{j\omega}][/mm]
>  
> Und die Integration von [mm]t\*e^{-j\omega t}:[/mm]
>  
> [mm][\bruch{-t\*e^{-j\omega t}}{j\omega}]+[\bruch{e^{-j\omega t}}{\omega^{2}}][/mm]
>  
> Letztendlich komme ich damit auf das falsche Ergebnis:
>  
> [mm]F(\omega)=\bruch{2A\*(e^{j\omega t_{0}}-e^{-j\omega t_{0}})}{j\omega}+\bruch{e^{-j\omega t_{0}}-e^{j\omega t_{0}}}{\omega^{2}}[/mm]


Bei der Auswertung des Integrals ist Dir ein Fehler unterlaugen.


>  
> Das richtige Ergebnis laut Lösungsblatt ist:
>  [mm]F(\omega)=\bruch{2A}{t_{0}\*\omega^{2}}\*(1-cos(\omega t_{0}))[/mm]
>  
> Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob mein Ansatz
> richtig ist oder wo ich nen Fehler gemacht habe.


Der Ansatz ist richtig.


>  mfg


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fourier-Transformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 So 14.06.2009
Autor: McMuskel

OK, dann werde ich mich mit der Aufgabe
nochmal auseinanderseten.
Vielen dank und mfg.

Bezug
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