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Forum "Fourier-Transformation" - Fourier-Reihe bestimmen
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Fourier-Reihe bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 19.09.2009
Autor: seaman

Aufgabe
Für folgende Gleichung soll die Fourier-Reihe bestimmt werden:

f(t) = [mm] -t^{2} [/mm] + [mm] \pi*t [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \pi [/mm]

Hallo,

bei der Bestimmung der Fourier-Reihe habe ich offenbar irgendwo einen fehler gemacht, jedenfalls komme ich auf kein sinnvolles ergebnis (soll heißen, ich bekomme für  [mm] \underline{c}_{k} [/mm] immer Null raus).

Habe mir auch schon die Parabeln mal aufgezeichnet (z.B. von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] 2\pi) [/mm] und demnach muss [mm] b_{k} [/mm] auf alle Fälle Null sein, weil es eine gerade Funktion ist (spiegelsymmetrisch zur y-Achse).

Zur Berechnung:

[mm] \underline{c}_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{\pi*t*e^{-j2kt}*dt}-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{t^{2}*e^{-j2kt}*dt} [/mm]

-> [mm] \pi [/mm] aus dem ersten Integral kürzt sich raus, daraus ergibt sich folgende Stammfunktion (aus der Integraltafel der Formelsammlung von Papula):

[mm] \underline{c}_{k}=((\bruch{-j2kt-1}{-4k^{2}})*e^{-j2kt})\vmat{ \pi \\ 0 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi}((\bruch{-k^{2}4t^{2}+j4kt+2}{(-4k^{2})(-j2k)})*e^{-j2kt})\vmat{ \pi \\ 0 } [/mm]

-> [mm] \vmat{ \pi \\ 0 } [/mm] soll hier die Grenzen darstellen, habe leider kein anderes Zeichen dafür gefunden

-> habe dann die Grenzen eingesetzt und vereinfacht:

[mm] \underline{c}_{k}=\bruch{j2k\pi+1}{4k^{2}}+\bruch{1}{4k^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi}((\bruch{-k^{2}4\pi^{2}+j4k\pi+2}{j8k^{3}})-(\bruch{2}{j8k^{3}})) [/mm]

Wenn ich das dann weiter vereinfache, bekomme ich [mm] \underline{c}_{k}=0 [/mm] raus.

Wo liegt mein Fehler? Ich gehe mal davon aus, dass mein Fehler entweder in der Integration steckt oder beim einsetzen der Grenzen, weswegen ich jetzt einfach mal die letzten Vereinfachungsschritte weglasse. Falls ihr noch weitere Zwischenschritte benötigt, werde ich sie nachliefern.

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank.

        
Bezug
Fourier-Reihe bestimmen: hat sich schon erledigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Sa 19.09.2009
Autor: seaman

Hallo,

da mach ich mir diese riesen Arbeit, nur um beim abschicken der Frage einen Geistesblitz zu bekommen. :)

Hier liegt mein Fehler:

>  
> [mm]\underline{c}_{k}=\bruch{j2k\pi+1}{4k^{2}}+\bruch{1}{4k^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\pi}((\bruch{-k^{2}4\pi^{2}+j4k\pi+2}{j8k^{3}})-(\bruch{2}{j8k^{3}}))[/mm]
>  

Habe einen Vorzeichenfehler gemacht, es muss folgendermaßen lauten:

[mm] \underline{c}_{k}=\bruch{j2k\pi+1}{4k^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4k^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi}((\bruch{-k^{2}4\pi^{2}+j4k\pi+2}{j8k^{3}})-(\bruch{2}{j8k^{3}})) [/mm]

Jetzt bekomme ich für [mm] \underline{c}_{k}=-\bruch{1}{2k^{2}} [/mm] und für [mm] a_{k}=-\bruch{1}{k^{2}} [/mm] raus.


PS.:
Wie kann ich denn meine eigene Frage als beantwortet markieren? Oder kann das jemand anderes für mich übernehmen?

Bezug
        
Bezug
Fourier-Reihe bestimmen: Vorzeichen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Sa 19.09.2009
Autor: Infinit

Hallo seaman,
Du warst einen Tick schneller als ich. Prima, dass sich das so schnell geklärt hat.
Viele Grüße und viele richtige Vorzeichen für die Zukunft,
Infinit

Bezug
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