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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Do 26.04.2018 | | Autor: | ElDon91 |
| Aufgabe | | Setzen Sie die Funktionen f: [mm] (-\pi, \pi) \to \IR 2\pi-periodisch [/mm] auf [mm] \IR [/mm] fort und bestimmen Sie die Fouriersche Reihe der Fortsetzung |
es geht um a) [mm] f(x)=x^2 [/mm] und b) f(x)=x*cos(x)
ich weiß, wie ich die Koeffizienten bestimme
was ich nicht verstehe, steht in der Musterlösung:
a) [mm] f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ \pi^2, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ 0, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}
[/mm]
was ist damit gemeint?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Setzen Sie die Funktionen f: [mm](-\pi, \pi) \to \IR 2\pi-periodisch[/mm]
> auf [mm]\IR[/mm] fort und bestimmen Sie die Fouriersche Reihe der
> Fortsetzung
> es geht um a) [mm]f(x)=x^2[/mm] und b) f(x)=x*cos(x)
> ich weiß, wie ich die Koeffizienten bestimme
> was ich nicht verstehe, steht in der Musterlösung:
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> a) [mm]f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ \pi^2, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}[/mm]
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> b) [mm]f(x)=\begin{cases} f(x-2k\pi), & \mbox{für } x \in {((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)} \\ 0, & \mbox{für } x\in {(2k+1)\pi \forall k} \end{cases}[/mm]
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> was ist damit gemeint?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Funktionen sind jeweils nur für ein offenes Intervall von - [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] definiert und sollen auf ganz [mm] \IR [/mm] fortgesetzt werden.
Die jeweils obere Zeile bedeutet nur, dass zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] 3\pi [/mm] (k=1), [mm] 3\pi [/mm] und [mm] 5\pi [/mm] (k=2) ... sowie [mm] -3\pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] (k=-1) ... das selbe herauskommen soll wie zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi.
[/mm]
Was ist aber mit den jeweiligen Randpunkten?
Bei der ersten Funktion stoßen die beiden Enden in den Randpunkten aneinander, wenn man die Funktion stetig bis [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] ergänzt: [mm] f(\pi) [/mm] = [mm] \pi^2. [/mm] Das bedeutet die 2. Zeile bei der Lösung a).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der 2. Funktion gibt es aber einen Sprung, eine stetige Ergänzung ist nicht möglich. Da die Funktion aber auf ganz [mm] \IR [/mm] ergänzt werden soll, muss hier auch ein Funktionswert angegeben werden. Der steht in der 2. Zeile von b): f(x) = 0. Er ist sinnvoll, da die Funktionenreihe der Fourierzerlegung hier auch gegen 0 konvergiert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
PS: Es muss in der jeweils 2. Zeile nicht [mm] \forall [/mm] k heißen, sondern [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IZ. [/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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