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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Klopfer |
[mm] \fedon\mixonHallo [/mm] liebe Mathematiker 
Ich hoffe auf eure Hilfe.
Die folgende Aufgabe bereitet mit schon tagelanges Kopfzerbrechen:
Sei [mm] V\subset\ l^2(N)der [/mm] dichte Unterraum der Folgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Einträgen.
Sei f:N->C eine Funktion.
Definiere m :V->V durch
[mm] m((yn)n\el\ N):=((fn)yn)n\el\ [/mm] N
Zeige, dass sich m genau dann zu einem stetigen Operator [mm] l^2(N)->l^2(N) [/mm] fortsetzen lässt,wenn f beschränkt ist.
Die Fortsetzung, die wir wieder mit m bezeichnen, ist eindeutig bestimmt und erfüllt
[mm] \parallel\ m\parallel\ =\parallel\ f\parallel\ \inf [/mm] :=sup [mm] n\el\ [/mm] N abs(f(n)).
Ich weiß, es handelt sich bei m um einen Operator .
Klar ist wenn m beschränkt ist, dann lässt er sich fortsetzen, sonst nicht.
Die Beschränkheit von f überträgt sich genau zur Beschränkheit des Operators
Nun weiß ich gar nicht wie ich ansetzen soll und mein Vorwissen einbringen kann.
Bin um jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüßle,
[mm] \fedoffConni
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 22.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Das geht nach folgendem allgemeinen Prinzip:
Sei X ein Banachraum und Y ein in X dichter Teilraum und A:Y [mm] \to [/mm] Y linear und beschränkt.
Dann lässt sich A zu einem linearen und beschränkten Operator B:X [mm] \to [/mm] X wie folgt fortsetzen:
Sei x [mm] \in [/mm] X. Dann gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in Y mit: [mm] x_n \to [/mm] x.
Wegen
[mm] $||Ax_n-Ax_m|| [/mm] = [mm] ||A(x_n-x_m)|| \le ||A||*||x_n-x_m||$
[/mm]
ist [mm] (Ax_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X. Da X vollständig ist, existiert also
$Bx: = lim [mm] Ax_n$
[/mm]
Zeige nun: B ist linear , B ist beschränkt und $||B||= ||A||$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 23.06.2009 | | Autor: | Klopfer |
Hey Fred,
vielen lieben Dank schon mal für deine schnelle Antwort!
Die Frage, die ich mir nun stelle ist, ob ich nun wie folg vorgehe:
Um die Linearität von B nachzuprüfen,
muss ich doch diese Gleichungen kontrollieren:
B(x+y)= Bx + By für [mm] x,y\varepsilonA
[/mm]
B(rx) = rB(x), für [mm] x\varepsilonA [/mm] , [mm] r\varepsilonK
[/mm]
Um zu schauen ob B beschränkt ist, muss ich doch zeigen dass ihr Bild in X beschränkt beschränkt ist, also dass
[mm] B(X)\leM [/mm] , für ein [mm] M\ge0 [/mm] für alle x [mm] \varepsilon [/mm] X gilt.
Wie zeige ich das denn genau?
Komme einfach nicht weiter...
Lieben Gruß,
klopfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred,
> vielen lieben Dank schon mal für deine schnelle Antwort!
>
> Die Frage, die ich mir nun stelle ist, ob ich nun wie folg
> vorgehe:
> Um die Linearität von B nachzuprüfen,
> muss ich doch diese Gleichungen kontrollieren:
>
> B(x+y)= Bx + By für [mm]x,y\varepsilonA[/mm]
Seien x,y [mm] \in [/mm] X. Dann gibt es Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] in Y mit: [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] y_n \to [/mm] y. Es folgt: [mm] x_n+y_n \to [/mm] x+y
Dann: $B(x+y) = [mm] limA(x_n+y_n) [/mm] = [mm] lim(Ax_n+Ay_n) [/mm] = [mm] limAx_n+limAy_n [/mm] = Bx+By$
> B(rx) = rB(x), für [mm]x\varepsilonA[/mm] , [mm]r\varepsilonK[/mm]
>
> Um zu schauen ob B beschränkt ist, muss ich doch zeigen
> dass ihr Bild in X beschränkt beschränkt ist, also dass
> [mm]B(X) \le M[/mm] , für ein [mm]M\ge0[/mm] für alle x [mm]\varepsilon[/mm] X gilt.
Das ist doch Quatsch ! B(X) ist ein Vektorraum, dann ist doch die Ungleichung
[mm]B(X) \le M[/mm]
völliger Humbug.
Offensichtlich hast Du keine Ahnung, wann ein linearer Operator beschränkt heißt. Ich helfe gern, anderenfalls wäre ich nicht in diesem Forum. Wenn aber jemand wie Du die einfachsten Definitionen, die er für eine Aufgabe benötigt, nicht drauf hat, vergeht mir die Lust.
Also: mach Dich schlau, wann ein linearer Operator beschränkt heißt. Dann reden wir weiter.
FRED
> Wie zeige ich das denn genau?
> Komme einfach nicht weiter...
>
> Lieben Gruß,
> klopfer
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Klopfer |
Hallo Fred - entschuldige bitte meine Aussage.
Du hast natürlich völlig Recht mit dem, was du schreibst!
Es tut mir leid - ich hatte mich nach der Formel für beschränket Funktionen gehalten - und das ist ja wirklich völliger Humbug :-(( Das ist mir gestern Abend auch noch aufgefallen.
Es gilt ja:
Der lineare Operator [mm] B:V\to [/mm] X heißt beschränkt,
wenn eine endliche Konstante C ex.,so dass
[mm] \parallel [/mm] Bx [mm] \parallel\le C\parallel x\parallel [/mm] für alle x [mm] \varepsilon [/mm] Y
Ich hab's die ganze Zeit probiert - irgendwie klappt es einfach nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
$ ||Bx|| = ||lim [mm] Ax_n|| \le lim||A||*||x_n||= ||A||*lim||x_n||= [/mm] ||A||*||x|| $
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:26 Do 25.06.2009 | | Autor: | Klopfer |
Hallo Fred - vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Jetzt hab ich`s )
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