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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 25.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo,
Zitat von mir von Gestern
ich hänge gerade in einer Aufgabe. Die Stammfunktion von
> $ [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] $ ist doch $ [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}=ln|tan^{2}(\bruch{x}{2})|+C. [/mm] $
> Ich wollte die Stammfunktion mit $ [mm] sin(x)=\bruch{2z}{1+z²} [/mm] $
> und $ [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²}, [/mm] $ wobei
> $ [mm] z=tan(\bruch{x}{2})\Rightarrow dx=\bruch{2dz}{1+z²} [/mm] $
Ich habe das mit Partialbruchzerlegung ausprobiert, jedoch haut das bei mir nicht hin. Mein Taschenrechner spuckt ein anderes Ergebnis aus. Ich bin so vorgegenagen
[mm] \integral {(\bruch{1}{1-z²}) dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{1-z}\*\bruch{1}{1+z} dx}, [/mm] wenn jedoch [mm] z=tan\bruch{x}{2}
[/mm]
dann wäre Die Stammfunktion von [mm] \integral {(\bruch{1}{1-z²}) dx} [/mm] = [mm] ln|tan\bruch{x}{2}-1|\*ln|tan\bruch{x}{2}+1|. [/mm] Mein Taschenrechner sagt das es falsch ist. Aber ich meine das sieht doch gut aus, aber nicht gut genug
Das wäre echt nett wenn ihr mir weiter helfen könntet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Stammfunktion da stimmt nicht.
Es gilt: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{sin(x)} dx}=ln|tan(\bruch{x}{2})|
[/mm]
Bei deinem Integral bist du dann mit z=sin(x) rangegangen, oder?
Bis hier hin ist es ok.
[mm] \integral {\bruch{1}{1-z}*\bruch{1}{1+z} dx}
[/mm]
Aber das kannst du nicht einfach so integrieren, weil das ein Produkt ist (sonst gäbe es die partielle Integration nicht!).
Bei der Partialbruchzerlegung muss du aus [mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] etwas in der Form [mm] \bruch{A}{1-z}+\bruch{B}{1-z} [/mm] machen! Dann kannst du das summandenweise integrieren.
Dein Taschenrechner hatte also Recht. ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 25.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deine Antwort. Aber wie würde ich dann das Integral [mm] \integral{(\bruch{1}{cos}) dx} [/mm] mittels Universalsubstitution lösen? Oder was das richtig und ich musste eine Partielle Integration führen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Universalsubstitution höre ich jetzt zum ersten mal und das habe ich noch nie probiert, daher kann ich nicht sagen, ob es damit geht. Klingt wie eine geheime, alles zerstörende Integrationstechnik. ;)
Aber mit z=sinx geht es auf alle Fälle. Mit Partialbruchzerlegung würdest du auf [mm] \bruch{1}{1-z²}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}) [/mm] kommen. Und die 2 kleinen Brüche kannst du ja integrieren. Dann wieder zurückersetzen.
Aber mit der Universalsubstitution kommt man sicher schneller auf ein schöneres Ergebnis. Vielleicht kann dir da jemand weiterhelfen.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Ich nochmal.
Habe mir das mit der Universalsubstitution mal angeguckt.
Mit [mm] cos(x)=\bruch{1-tan²(\bruch{x}{2})}{1+tan²(\bruch{x}{2})} [/mm] und [mm] u=tan²(\bruch{x}{2}) [/mm] kommst du dann auf:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+u²}{1-u²}*\bruch{2du}{1+u²}}=2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-u²}du}, [/mm] was du dann genau so partiell lösen kannst. Allerdings wird dadurch dann eben die Stammfunktion schöner.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 25.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deine Hilfe und es stimmt man kann es partiell lösen, jedoch habe ich es mir etwas anders erhofft, da man ja [mm] \integral {\bruch{1}{sin(x)} dx}
[/mm]
richtig schön durch Universalsubstitution lösen kann, also könnte es auch gut möglich sein [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] durch Universalsubstitution zu lösen.
Könnte das jemand ausprobieren. Ich würde es echt gerne sehen wie es funktioniert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Gucke über deinen Eintrag, da habe ich es gemacht. :)
Oder soll ich es nochmal mit mehr Schritten machen?
Und die Andere Lösung war nicht partiell, sondern mit Partialbruchzerlegung!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 25.03.2009 | | Autor: | ggg |
Ich versuche mich gerade darauf zu konzentrieren, das ich die Integralfunktion so zu vereinfachen, das ich auch ohne der Partialbruchzerlegung auf ein ergenbis komme. Das ist, meiner Meinung sehr schwierig, ich habe s so zu Anfang an versucht
Ich wollte die Stammfunktion von [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] mit [mm] sin(x)=\bruch{2z}{1+z²} [/mm]
und $ [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²} [/mm] bestimmen, $ wobei $ [mm] z=tan(\bruch{x}{2})\Rightarrow dx=\bruch{2dz}{1+z²} [/mm] $
Meine Rechnung sieht so aus:
$ [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] $
Ich habe $ [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²} [/mm] $ mit u substituiert,also gilt u:= $ [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²}, [/mm] $
und somit
$ [mm] =\integral \bruch{1+z²}{1-z²}*\bruch{du}{1+z²}==\integral \bruch{1}{1-z²}*\bruch{du}{1} [/mm] $ da ja laut den trigonometrischen Pythagoras 1-z²=sin²(x) ist, gilt dann:
$ [mm] \integral {\bruch{1}{sin²(x)} dx}, [/mm] $
da ja $ [mm] \frac{1}{\sin²(x)}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)}\right] [/mm] $ wird dann aus
$ [mm] \integral {\bruch{1}{sin²(x)} }= \frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx} [/mm] $
Anschließend habe ich noch eine Substitution durchgeführt
mit $ [mm] h:=tan²(\bruch{x}{2}), [/mm] $ sodass sich ergibt $ [mm] dh*cos^{4}(\bruch{x}{2})=dx, [/mm] $
also
$ [mm] \frac{1}{2}\int{\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)}} \ \dx}=\integral{\bruch{1}{cos^{4}(\bruch{x}{2})}* \bruch{dh*cos^{4}(\bruch{x}{2})}{h}dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral {\bruch{dh}{h} }=ln|h|+C=ln|tan²(\bruch{x}{2})|+C [/mm] $
Jedoch ist mir einen Denkfehler bei der Substitution vom trigonometrischen Pythagoras unterlaufen,Leider, weshalb auch meine Stammfunktion selbstverständlich falsch ist.
Aber könntest du mir zeigen wie man es mit Partialbruchzerlegung macht. Bin da nicht geübt und relativ unsicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Ok!
Ich würde auch nur bis hier mit Universalsubstitution vordringen:
[mm] ...=\integral \bruch{1}{1-z²}dz
[/mm]
Erstmal die Idee der Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{1+z}+\bruch{1}{1-z}=\bruch{1-z}{(1+z)(1-z)}+\bruch{1+z}{(1-z)(1+z)}=\bruch{2}{1-z^2}
[/mm]
Das sollte ja klar sein, Hauptnenner bilden und so.
Also sollte es mit dem Teufel (!) zugehen, wenn man nicht aus [mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] etwas mit 1-z und 1+z im Nenner machen könnte.
Wenn du dir das Beispiel davor anguckst siehst du schon, dass du nur durch 2 teilen müsstest um [mm] \bruch{1}{1-z^2} [/mm] zu erhalten, aber jetzt mal von Anfang an, wenn man noch keine Idee hat, wie die Brüche dann aussehen:
Wir betrachten [mm] \bruch{1}{1-z^2}.
[/mm]
Als erstes muss man die Nullstellen des Nenners bestimmen, was in dem Fall ja einfach ist. [mm] z_1=1, z_2=-1.
[/mm]
Als Partialbrüche kommen dann Brüche in Frage, die den Nenner [mm] (z-z_1) [/mm] und [mm] (z-z_2) [/mm] haben, daher also die Nenner z+1 und z-1.
Dann macht man folgenden Ansatz:
[mm] \bruch{1}{1-z^2}=\bruch{A}{1-z}+\bruch{B}{1+z}, [/mm] wobei A und B reelle Zahlen sind.
Multipliziert man die Gleichung mit [mm] (1-z^2)=(1-z)(1+z) [/mm] durch, erhält man
1=(1+z)A+(1-z)B
Das muss man nun nach den Potenzen von z sortieren. Also es muss die die Form (...)z+(...) haben. Hätte man noch z² (oder höhere Potenzen von z) dabei, so müsste es die Form (...)z²+(...)z+(...) lauten, wobei die Punkte in den Klammern nicht die selben Terme darstellen müssen.
Wie auch immer, zurück zur Gleichung:
1=(1+z)A+(1-z)B=A+Az+B-Bz=(A-B)z+A+B
Zur besseren Übersicht füge ich noch etwas hinzu.
0*z+1=(A-B)z+(A+B)
Wenn du jetzt beide Seiten vergleichst, muss A-B=0 gelten und A+B=1. Dann wären beide Seiten gleich.
Also musst du nun das Gleichungssystem
I) A-B=0
II) A+B=1
lösen.
Sollte nicht so schwer sein.
I+II) 2A=1 [mm] \Rightarrow A=\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit erhältst du auch [mm] B=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Damit hast du also insgesamt dann [mm] \bruch{1}{1-z^2}=\bruch{\bruch{1}{2}}{1-z}+\bruch{\bruch{1}{2}}{1+z}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}) [/mm] oder wie auch immer du es noch umschreiben willst. 2 einfache Brüche, die sich mit dem Logarithmus integrieren lassen.
Teufel
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