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| Aufgabe | Ich betrachte folgende drei Gleichungen:
[mm] $x'(t)=e^{-ax(t)}-e^{-ay(t)}$
[/mm]
[mm] $y'(t)=e^{-ay(t)}-e^{-az(t)}$
[/mm]
[mm] $z'(t)=e^{-az(t)}$
[/mm]
wobei $a>0$ eine Konstante ist und die Funktionen $x,y,z$ nicht-negativ sind.
Mittels Trennung der Variablen lässt sich die dritte Gleichung explizit lösen als
[mm] $z(t)=\frac{1}{a}(\ln(a)+\ln(t+C))$. [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $z(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$.
[/mm]
Zeigen möchte ich nun Folgendes.
(A) Es gilt auch [mm] $x(t)\to\infty$ [/mm] sowie [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$.
[/mm]
(B) Es existiert ein $T>0$, sodass $x(t)<y(t)<z(t)$ für alle $t>T$. |
Ich wüsste gerne, ob meine Beweise in Ordnung sind.
Zu (A):
Zeige zunächst, dass [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm] Hierzu sei angenommen, dass $y$ beschränkt ist, d.h. [mm] $y\leq [/mm] M$ für ein $M>0$. Dann gilt [mm] $y'(t)\geq e^{-aM}-e^{-az(t)}$ [/mm] und da [mm] $e^{-az(t)}\to [/mm] 0$, folgt hieraus, dass $y'(t)>0$ für $t$ hinreichend groß. Dann ist $y$ aber konvergent (da nach oben beschränkt und monoton wachsend), was impliziert, dass [mm] $y'(t)\to [/mm] 0$. Das kann aber nur gelten, wenn [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$. [/mm] Widerspruch zur Beschränktheit
Nun, da ich weiß, dass [mm] $y(t)\to\infty$, [/mm] kann ich das gleiche Argument anwenden auf $x$, also folgt [mm] $x(t)\to\infty$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$.
[/mm]
Zu (B):
Ich zeige zunächst, dass es ein $T>0$ gibt mit $y(t)<z(t)$ für alle $t>T$. Angenommen, das sei falsch, d.h. für jedes $T>0$ existiert ein $t'>T$ mit [mm] $y(t')\geq [/mm] z(t')$, also [mm] $y'(t')\leq [/mm] 0$. Da [mm] $y(t)\to\infty$ [/mm] nach (A), existiert ein $t''>t'$ mit $y'(t'')>0$. Da $z$ monoton anwächst, bedeutet das, dass $y$ um $z$ herum oszilliert, also immer wieder die Nullkline $y=z$ in schneidet. Das ist aber nicht möglich, denn die Nullkline kann nur "von oben nach unten" geschnitten werden, da die Menge [mm] $\{(y,z): y'>0\}$ [/mm] vorwärtsinvariant ist. Das sieht man, indem man eine kleine Störung [mm] $y(t)=z(t)+\varepsilon$ [/mm] betrachtet. Dann gilt [mm] $y'(t)=e^{-az}(e^{-a\varepsilon}-1)$ [/mm] und dies ist positiv.
Das gleiche Argument kann ich für $x(t)$ und $t>T'$ anwenden, da nach dem Gezeigten $y(t)$ für $t>T'$ monoton wachsend ist. Das heißt, es gibt ein $T''>T'$ mit $x(t)<y(t)$ für alle $t>T''$.
Insgesamt gibt es also ein $T>T''$ mit $x(t)<y(t)<z(t)$ für alle $t>T$.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.matheplanet.com/index.html]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 08.03.2020 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [https://www.matheplanet.com/index.html]
da fehlt wohl Stackexchange…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 10.03.2020 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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