Folge in einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Puppet |
| Aufgabe | Einer Folge [mm] (a_n)_n [/mm] ordne man die Folge [mm] (s_n)_n [/mm] zu, wobei
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n) [/mm] für n /in [mm] \IN
[/mm]
a) Man zeige aus [mm] (a_n)_n \to [/mm] a folgt auch [mm] (s_n)_n \to [/mm] a
b) Man gebe eine divergente Folge [mm] (a_n)_n [/mm] an, für die [mm] (s_n)_n [/mm] konvergiert. |
Hallo Matheraum,
mir ist hier so einiges unklar.
Bedeutet $ [mm] (a_n)_n \to [/mm] a $ das [mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n) \to [/mm] a ?
Kann ich dann schreiben [mm] \bruch{ (a_n)_n }{n + 1}? [/mm] Wenn ja, was dann?
Würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
LG Puppet
|
|
| |
|
Hallo,
> Einer Folge [mm](a_n)_n[/mm] ordne man die Folge [mm](s_n)_n[/mm] zu, wobei
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n + 1} (a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n)[/mm] für n /in
> [mm]\IN[/mm]
>
> a) Man zeige aus [mm](a_n)_n \to[/mm] a folgt auch [mm](s_n)_n \to[/mm] a
>
> b) Man gebe eine divergente Folge [mm](a_n)_n[/mm] an, für die
> [mm](s_n)_n[/mm] konvergiert.
> Hallo Matheraum,
>
> mir ist hier so einiges unklar.
> Bedeutet [mm](a_n)_n \to a[/mm] das [mm](a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n) \to[/mm] a
> ?
Nein, [mm](a_n)_n[/mm] hat mit der Summe per se nix zu tun
> Kann ich dann schreiben [mm]\bruch{ (a_n)_n }{n + 1}?[/mm] Wenn
> ja, was dann?
Bemühe die Definition!
Was bedeutet [mm]s_n\to a[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] ?
Für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]n_0[/mm], so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
[mm]|s_n-a|<\varepsilon[/mm]
Schaue dir den Betrag [mm]|s_n-a|[/mm] mal näher an und nutze aus, dass [mm]a_n\to a[/mm] für [mm]n\to \infty[/mm]
> Würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
>
> LG Puppet
>
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 26.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank für deine Antwort,
Also:
$ [mm] |s_n-a|<\varepsilon [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] |$ [mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n) [/mm] $ - a| [mm] <\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ||$ [mm] \bruch{1}{n + 1}| |(a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n)| [/mm] $ - a| [mm] <\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw ||(a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n)| [/mm] - a(n + 1)| < [mm] \varepsilon [/mm] (n + 1) (für n+1 >0).
Ist das bis hier hin so richtig? Ich will versuchen die Ungleichung soweit umzustellen das ich [mm] a_n-a [/mm] bekomme. Davon weiß ich ja das es < [mm] \varepsilon [/mm] sein muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 26.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort,
>
> Also:
>
> [mm]|s_n-a|<\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |[mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n)[/mm] - a|
> [mm]<\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ||[mm] \bruch{1}{n + 1}| |(a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n)|[/mm] - a|
> [mm]<\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw ||(a_0[/mm] [mm]+[/mm] [mm]a_1[/mm] [mm]+ ... +[/mm] [mm]a_n)|[/mm] - a(n + 1)| <
> [mm]\varepsilon[/mm] (n + 1) (für n+1 >0).
> Ist das bis hier hin so richtig? Ich will versuchen die
> Ungleichung soweit umzustellen das ich [mm]a_n-a[/mm] bekomme. Davon
> weiß ich ja das es < [mm]\varepsilon[/mm] sein muss.
So wird das nix ! Die Aufgabe ist nicht leicht. Deshalb verrate ich Dir was:
Google [mm] \to [/mm] Cauchyscher Grenzwertsatz
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 26.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Danke für deinen Tipp,
ich versuche es mal damit:
zz. ist ja, für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] n_0 [/mm] $, so dass für alle $ [mm] n\ge n_0 [/mm] $ gilt:
$ [mm] |s_n-a|<\varepsilon [/mm] $
|$ [mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n) [/mm] $ - a| = [mm] |\bruch{a_0 + a_1 + ... + a_n - (n+1)a}{n + 1}| [/mm] = [mm] |\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}| [/mm]
Jetzt kann ich mir ein m so wählen das für n>m $ [mm] |s_n-a|<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] $ gilt:
[mm] |\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}| \le |\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n + 1}| [/mm] + [mm] |\bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}|
[/mm]
Da $ [mm] a_n\to [/mm] a $ muss ja [mm] (a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a) [/mm] schon dicht an 0 liegen. Also muss ja erst recht [mm] \bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] Somit existiert ein [mm] n_0 [/mm] > n für das [mm] \bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Offensichtlich gibt es doch nun auch ein [mm] n_0 [/mm] > n für das [mm] \bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n + 1} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Also gilt
Für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] n_0 [/mm] $, so dass für alle $ [mm] n\ge n_0 [/mm] $ gilt:
$ [mm] |s_n-a|<\varepsilon [/mm] $.
Zu b)
Sei [mm] a_n [/mm] := [mm] (-1)^{n} [/mm] eine Folge. Wie wir wissen ist die Folge divergent. Dann sei [mm] c_n [/mm] := $ [mm] \bruch{1}{n + 1} (a_n) [/mm] $ eine Folge der [mm] a_n [/mm] zugeordnet ist. Aufgrund des oben gezeigten sieht man das [mm] c_n [/mm] konvergiert.
Vielen Dank nochmal für die Hilfen.
Lg Puppet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deinen Tipp,
>
> ich versuche es mal damit:
>
> zz. ist ja, für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]n_0 [/mm], so
> dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
> [mm]|s_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> |[mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + ... + [mm]a_n)[/mm] - a| =
> [mm]|\bruch{a_0 + a_1 + ... + a_n - (n+1)a}{n + 1}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}|[/mm]
>
> Jetzt kann ich mir ein m so wählen das für n>m
> [mm]|s_n-a|<\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] gilt:
> [mm]|\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}| \le |\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n + 1}|[/mm]
> + [mm]|\bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}|[/mm]
>
> Da [mm]a_n\to a[/mm] muss ja [mm](a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)[/mm] schon
> dicht an 0 liegen. Also muss ja erst recht
> [mm]\bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1} \to[/mm] 0 für n
> [mm]\to \infty.[/mm] Somit existiert ein [mm]n_0[/mm] > n für das
> [mm]\bruch{(a_{m+1}-a)+(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n + 1}[/mm] <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}.[/mm] Offensichtlich gibt es doch nun
> auch ein [mm]n_0[/mm] > n für das
> [mm]\bruch{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n + 1}[/mm] <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Also gilt
> Für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]n_0 [/mm], so dass für alle
> [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
> [mm]|s_n-a|<\varepsilon [/mm].
>
> Zu b)
>
> Sei [mm]a_n[/mm] := [mm](-1)^{n}[/mm] eine Folge. Wie wir wissen ist die
> Folge divergent. Dann sei [mm]c_n[/mm] := [mm]\bruch{1}{n + 1} (a_n)[/mm]
Was soll das ?
Zeige: [mm] (s_n) [/mm] konvergiert, wobei
$ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{n + 1} (a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n) [/mm] $
und [mm] a_n=(-1)^n
[/mm]
FRED
> eine Folge der [mm]a_n[/mm] zugeordnet ist. Aufgrund des oben
> gezeigten sieht man das [mm]c_n[/mm] konvergiert.
>
> Vielen Dank nochmal für die Hilfen.
>
> Lg Puppet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Gilt das "Was soll das ?" nur dem b- Teil?
Ich bin irgenwie davon ausgegangen das ich mir $ [mm] s_n [/mm] $ bilden kann wie ich will. Wenn ich mir die Aufgeben stellung ansehe ist das aber natürlich quatsch.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gilt das "Was soll das ?" nur dem b- Teil?
Ja.
> Ich bin irgenwie davon ausgegangen das ich mir [mm]s_n[/mm] bilden
> kann wie ich will.
Was ist los ?
> Wenn ich mir die Aufgeben stellung
> ansehe ist das aber natürlich quatsch.
So ist es.
FRED
>
> Lg
>
|
|
|
|
