Flächenbestimmung durch Vektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 12.05.2014 | | Autor: | dstny |
| Aufgabe | Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
A(5|-2|1)
B(0|3|4)
C(-4|1|5) |
Also ich hätte eine Frage bezüglich der Flächenberechnung eines Dreiecks mithilfe von 3 vorgegebenen Punkten im 3-Dimensionalen Bereich bzw. ich weiß nicht wie ich ich so recht auf die Lösung komme.. bisher sieht es so aus
Ich habe jetzt mithilfe der Punkte A, B und C erst mal die Vektoren und Seitenlängen des Dreiecks bestimmt:
[mm] \overline{a}=\overline{BC}=\pmat{ -4 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \overline{b}=\overline{AC}=\pmat{ -9 \\ 3 \\ 4 }
[/mm]
[mm] \overline{c}=\overline{AB}=\pmat{ -5 \\ 5 \\ 3 }
[/mm]
Davon habe ich dann die Beträge ausgerechnet um die Seitenlängen herauszubekommen (Weiß nicht genau ob das notwendig ist)
a=4,58
b=10,3
c=7,68
Jetzt muss ich irgendwie die Fläche des Dreiecks berechnen.
Soweit ich weiß funktioniert das (irgendwie?) mit dem Vektor- / Kreuzprodukt..
Allerdings weiß ich nicht welche Vektoren ich dafür nehmen muss, und ob ich dann schon fertig bin.
Wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte :)
|
|
| |
|
Hallo,
> Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
> A(5|-2|1)
> B(0|3|4)
> C(-4|1|5)
> Also ich hätte eine Frage bezüglich der
> Flächenberechnung eines Dreiecks mithilfe von 3
> vorgegebenen Punkten im 3-Dimensionalen Bereich bzw. ich
> weiß nicht wie ich ich so recht auf die Lösung komme..
> bisher sieht es so aus
>
> Ich habe jetzt mithilfe der Punkte A, B und C erst mal die
> Vektoren und Seitenlängen des Dreiecks bestimmt:
> [mm]\overline{a}=\overline{BC}=\pmat{ -4 \\ -2 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]\overline{b}=\overline{AC}=\pmat{ -9 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
>
> [mm]\overline{c}=\overline{AB}=\pmat{ -5 \\ 5 \\ 3 }[/mm]
>
Das kann nicht schaden, je nach Vorgehensweise benötigst du jedoch nur zwei oder sogar nur eine der Seiten als Vektor.
> Davon habe ich dann die Beträge ausgerechnet um die
> Seitenlängen herauszubekommen (Weiß nicht genau ob das
> notwendig ist)
> a=4,58
> b=10,3
> c=7,68
Ich habe jetzt nicht nachgerechnet. Natürlich kann man mit irgendwelchen abgefahrenen Methoden arbeiten, hier wäre das die Heron-Formel. Dazuu bräuchtest du in der tat alle drei Seitenlängen und noch den halben Dreiecksumfang. Aber das hattest du wohl nicht vor. 
> Jetzt muss ich irgendwie die Fläche des Dreiecks
> berechnen.
> Soweit ich weiß funktioniert das (irgendwie?) mit dem
> Vektor- / Kreuzprodukt..
Es gibt unterschiedliche Methoden, auch in der Vektorrechnung. Eine davon ist das Kreuzprodzukt. Wie wäre es denn, wenn du dessen geometrische Eigenschaften einmal selbst ![[]](/images/popup.gif) recherchieren würdest, denn dann hätte sich deine Frage nämlich im Handumdrehen geklärt. Welche Fläche wird denn durch den Betrag des Kreuzprodukts beschrieben?
Gruß, Diophant
|
|
|
|
