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| Aufgabe | 3) Zeigen Sie:
a) Tx:=e^(-x)+1 hat höchstens einen Fixpunkt y auf R.
b)Der Fixpunktsatz für kontrahierende Abblidungen lässt sich auf T anwenden.
c)Bestimmen Sie ein n Element N so, dass nach der Fehlerabschätzung aus dem FPS gilt: Betrag von (y-xn) kleiner gleich 1/100. |
Hallo!
Kriege die Aufgaben nicht hin.
Bei a) muss ich doch dafür erstmal zeigen, dass die Gleichung kontrahiert, oder? Und dafür müsste ich sie nach x auflösen.. was mir aber gerade nicht gelingen will... - kann mir jemand helfen? Und wie kann ich dann zeigen, dass sie kontrahiert?
zu b) ist es richtig, dass ich erst dafür zeigen muss, dass ein Fixpunkt existiert, dann T bildet D "in sich" ab und dann, dass es kontrahiert? Und wie ist dafür der Ansatz??
c) Auf welche Weise kann ich denn nach solch einem n suchen?
Würde mich über Hilfe freuen! Viele Grüße.
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Bei a) muss ich doch dafür erstmal zeigen, dass die Gleichung kontrahiert, oder?
Nein.
Die Aufgabe lautet :
> Zeigen Sie, dass Tx:=e^(-x)+1 höchstens einen Fixpunkt y [mm] \in\IR [/mm] hat.
D.h. es ist nur zu zeigen, dass, falls es einen Fixpunkt gibt, dieser dann auch der einzige sein muss.
Übrigens ist T(x) keine Kontraktion.
[mm] |T(-10)-T(0)|\approx 22026\not\le [/mm] 10=|0-(-10)|
> zu b) ist es richtig, dass ich erst dafür zeigen muss, dass ein Fixpunkt existiert, dann T bildet D "in sich" ab und dann, dass es kontrahiert? Und wie ist dafür der Ansatz??
Leider, wieder etwas an der Aufgabe vorbei.
Daher hier nochmal :
> Der Fixpunktsatz für kontrahierende Abblidungen lässt sich auf T anwenden.
Wie in a) gesehen ist T(x) keine Kontraktion. Der Fixpunktsatz wäre also nicht anwendbar. Jedoch könnte man (du) versuchen die Definitionsmenge einzuschränken, so dass T(x) auf der neuen Menge ein kontrahierende Selbstabbildung ist. Dann gilt in dem Bereich der Satz.
c)
Laut Fixpunktsatz konvergiert die Folge [mm] x_{n+1}=f(x_n) [/mm] gegen den Fixpunkt.
Dies sollst du nun solange durchführen, bis [mm] |y-x_n|\le\frac{1}{100}.
[/mm]
Für die Ungleichung solltet ihr bereits eine Abschätzung kennen.
Ciao.
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