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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Es sei X eine unendliche Menge, F ein Filter auf X und [mm]G:=\left\{B\subset X;C_XB endlich\right\}[/mm], also die Menge aller B, deren Komplement endlich ist.
Zu zeigen ist die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) [mm]G\subset F[/mm]
(ii) [mm]\cap_{A\in F} A=\emptyset[/mm]
Von (i) nach (ii) habe ich mühelos zeigen können.
Jedoch bereitet mir der Weg von (ii) nach (i) Probleme.
Bislang habe ich folgendes versucht.
- Ich habe angenommen, dass G keine Teilmenge von F ist, und versucht, dass zum Widerspruch zu führen. Leider ohne Erfolg.
- Ferner habe ich erst einmal festgestellt, dass G auch ein Filter ist und somit auch eine Filterbasis. Aber finde keine Beziehung zu F.
Vielleicht hat jemand noch eine Idee, wie ich zum Ziel kommen kann.
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Grüße!
Also, bevor ich anfange schreibe ich erstmal, was meiner Meinung nach ein Filter ist - wenn das nicht eurer Def. entspricht, dann ist der Beweis hinfällig. 
Also, zu einer Menge $X$ ist ein Filter $F$ ein System von Teilmengen, für das gilt:
$X [mm] \in [/mm] F$
[mm] $\emptyset \notin [/mm] F$
$A,B [mm] \in [/mm] F [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] F$
$A [mm] \in [/mm] F, B [mm] \supseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \in [/mm] F$
Aus den Eigenschaften 2 und 3 folgt insbesondere, dass nur entweder eine Menge oder ihr Komplement in dem Filter sein können, da ihr Schnitt ja leer ist. Insbesondere sagt Dir Bedingung i) aus der Aufgabe, dass der Filter keine endliche Mengen enthalten kann.
Also, gefragt war ii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] i).
Zu $x [mm] \in [/mm] X$ bezeichne ich mit [mm] $C_x$ [/mm] das Komplement von [mm] $\{x\}$ [/mm] in $X$, also [mm] $C_x [/mm] = X [mm] \backslash \{ x \}$. [/mm] Es reicht zu zeigen, dass [mm] $C_x \in [/mm] F$ für jedes $x$, da sich jede Menge aus $G$ als Schnitt endlich vieler solcher Mengen darstellen lässt.
Sei also $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig. Dann gibt es nach ii) ein $A [mm] \in [/mm] F$ mit $x [mm] \notin [/mm] A$. Daraus aber folgt $A [mm] \subseteq C_x$ [/mm] und damit ist nach der Filtereigenschaft [mm] $C_x \in [/mm] F$. Und das wars auch schon. 
Lars
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