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| Aufgabe | | Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Man beweise, dass die Feuerbachkreise der vier Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC durch einen gemeinsamen Punkt gehen. |
Also ich hab das mal so konstruiert, dass kommt auch hin, aber ich weiss nicht so recht, wie ich jetzt mit dem formalen Beweis anfangen soll, sieht da jemand vllt. nen guten Ansatz??
Achso man soll den Mittelpunkt des Umkreises von ABCD in den Ursprung legen, damits besser geht.
mfg
piccolo
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> Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Man beweise, dass die
> Feuerbachkreise der vier Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC
> durch einen gemeinsamen Punkt gehen.
> Also ich hab das mal so konstruiert, das kommt auch hin,
> aber ich weiss nicht so recht, wie ich jetzt mit dem
> formalen Beweis anfangen soll, sieht da jemand vllt. nen
> guten Ansatz??
>
> Achso man soll den Mittelpunkt des Umkreises von ABCD in
> den Ursprung legen, damits besser geht.
>
> mfg
> piccolo
Wenn du es konstruiert hast, wäre es doch vielleicht
möglich, aus der Zeichnung eine Vermutung über
die Lage des gemeinsamen Punktes der vier Kreise
zu entnehmen ...
Etwas zu beweisen ist oft deutlich einfacher, wenn
man dabei ein handfestes Ziel vor Augen hat.
Gruß Al-Chw.
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Also ich würd sagen, dass dann 1/2(A+B+C+D) die Lösung sein müsste?!
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> Also ich würd sagen, dass dann 1/2(A+B+C+D) die Lösung sein
> müsste?!
Ich weiß es nicht, habe mir auch keine Zeichnung
gemacht.
Dies wäre aber jetzt doch ein Hinweis, dass man
es mit einer rechnerischen Lösung versuchen könnte,
zumal du ja noch den Tipp betr. Wahl eines Koordina-
tensystems hast.
Dann nimm als Umkreis den Einheitskreis. Die
Vektoren [mm] \overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{C},\overrightarrow{D} [/mm] haben dann alle den Betrag 1 .
Für die Aufstellung der Gleichung des Feuerbachkreises
eines Dreiecks benützt man dann wohl am einfachsten
dessen Seitenmittelpunkte, da sich deren Koordinaten
leicht durch die Eckpunktskoordinaten ausdrücken
lassen.
Falls deine Vermutung richtig ist - und ihre Symmetrie
hat einiges für sich - wird es auch genügen, die Rech-
nungen für einen der vier Kreise durchzuführen, eben
gerade wegen dieser Symmetrie.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:08 So 21.06.2009 | | Autor: | statler |
> Also ich würd sagen, dass dann 1/2(A+B+C+D) die Lösung sein
> müsste?!
Hi,
ich würde dann eher auf 1/4(A+B+C+D) tippen, weil es ja translationsinvariant sein sollte.
Gruß
Dieter
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> ich würde dann eher auf 1/4(A+B+C+D) tippen, weil es ja
> translationsinvariant sein sollte.
Klar. Hab ich mir auch schon überlegt. Aber ob die
Formel dann wirklich stimmt, weiß ich leider auch
noch nicht. Der rechnerische Weg, den ich angeregt
habe, scheint jedenfalls doch recht mühsam - ich
habe ihn jedenfalls aufgegeben. Grundsätzlich
würde ich ohnehin eine geometrische Lösung vor-
ziehen.
LG Al
Nachtrag:
Ich habe jetzt die Zeichnung in Cabri erstellt. Die
Behauptung, dass die vier Kreise einen gemeinsamen
Punkt F haben, wird bestätigt (man kann ja in Cabri
die gegebene Grundfigur, hier also das Sehnenviereck,
beliebig verändern).
Die Vermutung F=1/4(A+B+C+D) ist jedoch falsch.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Man beweise, dass die
> Feuerbachkreise der vier Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC
> durch einen gemeinsamen Punkt gehen.
Hallo,
beim Spielen mit der Figur in Cabri habe ich
gemerkt, dass die vier Feuerbachkreise alle
gleich groß sind. Ihr Radius ist halb so groß
wie der Radius des Umkreises des Sehnenvierecks.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 So 21.06.2009 | | Autor: | statler |
> > Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Man beweise, dass die
> > Feuerbachkreise der vier Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC
> > durch einen gemeinsamen Punkt gehen.
> beim Spielen mit der Figur in Cabri
> habe ich
> gemerkt, dass die vier Feuerbachkreise alle
> gleich groß sind. Ihr Radius ist halb so groß
> wie der Radius des Umkreises des Sehnenvierecks.
Hi,
das ist so und kann mit dem Strahlensatz bewiesen werden. Auf jeden Fall ist das der allerletzte Satz in der Originalarbeit von Feuerbach:
Der Halbmesser des um das Dreieck MNP beschriebenen Kreises, welches die Fußpunkte der Perpendikel im Dreieck ABC bilden, ist halb so groß als der Halbmesser des um ds Dreieck ABC beschriebenen Kreises;...
Und hier haben ja alle Dreiecke denselben Umkreis, wie praktisch. Also müßte man dem Problem auch mit synthetischer Geometrie beikommen können. Ich muß mir noch mal den Coxeter zu Gemüte führen.
Auf jeden Fall brauche ich Bedenkzeit, aber es interessiert mich sehr.
Gruß
Dieter
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> > > Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Man beweise, dass die
> > > Feuerbachkreise der vier Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC
> > > durch einen gemeinsamen Punkt gehen.
>
> > beim Spielen mit der Figur in Cabri
> > habe ich
> > gemerkt, dass die vier Feuerbachkreise alle
> > gleich groß sind. Ihr Radius ist halb so groß
> > wie der Radius des Umkreises des Sehnenvierecks.
>
> Hi,
>
> das ist glaubich so und wird mit dem Strahlensatz
> bewiesen.
Ja; das habe ich eben gerade auch festgestellt.
> Und hier haben ja alle Dreiecke denselben Umkreis, wie
> praktisch. Also müßte man dem Problem auch mit
> synthetischer Geometrie beikommen können.
"synthetische Geometrie": das riecht fast noch mehr
nach Chemie als "analytische Geometrie" ..... 
Bei der Suche im Netz bin ich auf diese Arbeit
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
gestossen, in der auch die vorliegende Frage behandelt
wird, mit dem Unterschied, dass dort nicht einmal vor-
ausgesetzt wird, dass das Viereck ein Sehnenviereck
sein soll !
Gruß Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 21.06.2009 | | Autor: | weduwe |
ich starte einmal einen versuch 
wie von Al-Ch. - ich kann leider deinen link nicht öffnen - empfohlen wandeln wir auf dem einheitskreis,
und wir drehen das koordinatensystem so, dass gilt:
A(1/0) und C(-1/0). thales läßt grüßen!
bekannt sei weiters, dass [mm] r_{feuerbach}=\frac{R}{2}=\frac{1}{2}
[/mm]
danke stattler für das zitat!
behauptung:
der gesuchte punkt F ist der mittelpunkt der seite BD
mit den koordinaten
[mm] F(\frac{1}{2}(cos\beta+cos\delta)/\frac{1}{2}(sin\beta+sin\delta)).
[/mm]
beweis:
1) F liegt per definitionem auf den feuerbachkreisen der dreiecke [mm] \Delta{BCD} [/mm] und [mm] \Delta{DAB}
[/mm]
2) er liegt auch auf dem feuerbachkreis des dreiecks [mm] \Delta{ACD}
[/mm]
dessen gleichung lautet
[mm](x-\frac{cos\delta}{2})^2+(y-\frac{cos\delta}{2})^2=\frac{1}{4}[/mm]
F einsetzen liefert die behauptung
3) analog zeigt man, F liegt auch auf dem feuerbachkreis des dreiecks [mm] \Delta{ABC}.
[/mm]
letzlich zeigt man nun durch einsetzen, dass gilt
[mm] \overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})
[/mm]
ich hoffe, ich werde nicht vernichtet
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Al-Ch. - ich kann leider deinen link nicht öffnen
Hallo weduwe,
ich habe jetzt das Dokument als PDF angehängt !
Link
LG Al
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> wir drehen das koordinatensystem so, dass gilt:
> A(1/0) und C(-1/0)
Das ist eine etwas spezielle Annahme: Ein Sehnen-
viereck mit Umkreismittelpunkt auf einer Diagonalen
bzw. eines mit zwei gegenüber liegenden rechten
Winkeln ....
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 21.06.2009 | | Autor: | weduwe |
> > wir drehen das koordinatensystem so, dass gilt:
> > A(1/0) und C(-1/0)
>
>
> Das ist eine etwas spezielle Annahme: Ein Sehnen-
> viereck mit Umkreismittelpunkt auf einer Diagonalen
> bzw. eines mit zwei gegenüber liegenden rechten
> Winkeln ....
>
> Gruß
>
>
>
>
wußte ja, dass da ein wurm drin ist
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> > > wir drehen das koordinatensystem so, dass gilt:
> > > A(1/0) und C(-1/0)
> >
> >
> > Das ist eine etwas spezielle Annahme: Ein Sehnen-
> > viereck mit Umkreismittelpunkt auf einer Diagonalen
> > bzw. eines mit zwei gegenüber liegenden rechten
> > Winkeln ....
> >
> > Gruß
> >
> wußte ja, dass da ein wurm drin ist
vielleicht liesse sich der wurm ja überlisten: durch
eine geniale transformation, welche ein beliebiges
sehnenviereck in eines der speziellen sorte ver-
wandelt und "feuerbachinvariant" ist ...
Al
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