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Forum "Fourier-Transformation" - Faltung von Funktionen
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Faltung von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 01.12.2009
Autor: Sierra

Aufgabe
Berechne die Faltung der Funktionen [mm] (\lambda,\mu>0) [/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x} [/mm] für x>0, 0 sonst
[mm] g(x)=\bruch{1}{\mu}*e^{-\mu*x} [/mm] für x>0, 0 sonst
direkt und mit Hilfe der Fourier-Transformation


Hallo,

habe noch große Schwierigkeiten, was das Thema Fouriertransformationen betrifft. Hier erstmal meine herangehensweise:
zunächst die Faltung ("*" entspricht der Faltung):
(f*g)(y)= [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)*g(y-x) dx} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x}*\bruch{1}{\mu}*e^{-\mu*(y-x)} dx} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\lambda*\mu}*\integral_{0}^{\infty}e^{-\mu*y+x(\mu-\lambda)}dx [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\lambda\mu(\mu-\lambda)}*[e^{-\mu*y+x(\mu-\lambda)}] [/mm] wobei noch die Grenzen einzusetzen sind. Hier ist auch schon mein erstes Problem, für [mm] \infty [/mm] müsste ich doch eigentlich eine Fallunterscheidung machen, je nachdem, ob [mm] \mu>\lambda [/mm] oder andersrum?

Ist es außerdem richtig, dass ich davon ausgehe, dass ich (f*g)(y) für [mm] x\le [/mm] 0 nicht berechnen brauch, da doch 0 rauskommt, oder ?

Gruß Sierra

        
Bezug
Faltung von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 01.12.2009
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Berechne die Faltung der Funktionen [mm](\lambda,\mu>0)[/mm]
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x}[/mm] für x>0, 0 sonst
>  [mm]g(x)=\bruch{1}{\mu}*e^{-\mu*x}[/mm] für x>0, 0 sonst
>  direkt und mit Hilfe der Fourier-Transformation
>  
>
> Hallo,
>  
> habe noch große Schwierigkeiten, was das Thema
> Fouriertransformationen betrifft. Hier erstmal meine
> herangehensweise:
>  zunächst die Faltung ("*" entspricht der Faltung):
>  (f*g)(y)= [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)*g(y-x) dx}[/mm]
>  

Schau dir dieses integral genauer an: y ist fest und $g(x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$. Also ist $g(y-x)=0$ fuer [mm] $y-x\le [/mm] 0$. du brauchst also das integral nicht bis [mm] \infty [/mm] auszuwerten sondern nur bis ...?

> [mm]=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x}*\bruch{1}{\mu}*e^{-\mu*(y-x)} dx}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{\lambda*\mu}*\integral_{0}^{\infty}e^{-\mu*y+x(\mu-\lambda)}dx[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{\lambda\mu(\mu-\lambda)}*[e^{-\mu*y+x(\mu-\lambda)}][/mm]
> wobei noch die Grenzen einzusetzen sind. Hier ist auch
> schon mein erstes Problem, für [mm]\infty[/mm] müsste ich doch
> eigentlich eine Fallunterscheidung machen, je nachdem, ob
> [mm]\mu>\lambda[/mm] oder andersrum?
>  

diese unterscheidung solltest du nicht benoetigen, wenn du meinen tip oben umsetzt.

> Ist es außerdem richtig, dass ich davon ausgehe, dass ich
> (f*g)(y) für [mm]x\le[/mm] 0 nicht berechnen brauch, da doch 0
> rauskommt, oder ?

wegen $f(x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$, richtig. [daumenhoch]

gruss
Matthias


Bezug
                
Bezug
Faltung von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Mo 07.12.2009
Autor: Sierra

Wenn auch ziemlich verspätet, vielen Dank für deine Antwort !

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