Faktorform einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 29.04.2007 | | Autor: | kju80836 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
a) Ermittle die Nullstellen der Funktion mittels Substitution.
b) Stelle den Funktionsterm in faktorisierter Form dar. |
Hallo,
hänge gerade an dieser Aufgabe dran. Der a)-Teil stellt kein Problem dar:
u = [mm] x^2
[/mm]
[mm] u^2 [/mm] + 4x - 5 = 0
[mm] u_1 [/mm] = -2 + [mm] \wurzel{2^2 + 5} [/mm] = 1
[mm] u_2 [/mm] = -2 - [mm] \wurzel{2^2 + 5} [/mm] = -5
x = [mm] \wurzel{u}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -1
[mm] x_2 [/mm] = 1
Allerdings bereitet mir die Aufgabe b) Probleme. Mein Lösungsansatz:
f(0) = [mm] -\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] f_2(x) [/mm] = a * (x-1) (x+1)
[mm] -\bruch{5}{2} [/mm] = a * (0-1)(0+1)
[mm] -\bruch{5}{2} [/mm] = -a
[mm] \bruch{5}{2} [/mm] = a
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} [/mm] (x-1) (x+1)
Dies kann allerdings nicht stimmen, da bei Punktprobe
[mm] f_2 [/mm] (3) [mm] \not= [/mm] f (3)
Nun frage ich mich, was ich nicht beachtet / falsch gemacht habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kju80836,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^4[/mm] + [mm]2x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>
> a) Ermittle die Nullstellen der Funktion mittels
> Substitution.
> b) Stelle den Funktionsterm in faktorisierter Form dar.
> Hallo,
>
> hänge gerade an dieser Aufgabe dran. Der a)-Teil stellt
> kein Problem dar:
> u = [mm]x^2[/mm]
> [mm]u^2[/mm] + 4x - 5 = 0
> [mm]u_1[/mm] = -2 + [mm]\wurzel{2^2 + 5}[/mm] = 1
> [mm]u_2[/mm] = -2 - [mm]\wurzel{2^2 + 5}[/mm] = -5
> x = [mm]\wurzel{u}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = -1
> [mm]x_2[/mm] = 1 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Mache doch mal eine Polynomdivision [mm] $\left(\frac{1}{2}x^4+2x^2-\frac{5}{2}\right):(x-1)=......$
[/mm]
Und von dem Ergebnis noch eine PD durch (x+1)
Es sollte [mm] $f(x)=\frac{1}{2}(x^2+5)(x-1)(x+1)$ [/mm] rauskommen
Gruß
schachuzipus
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Noch schneller geht es, wenn du die Lösung für die Substitution nimmst:
u=1 und u=-5 zeigen, dass das (substituierte) Polynom die Linearfaktoren (u-1) und (u+5) enthalten muss. Das Produkt ergibt [mm] (u-1)(u+5)=u^2+4u-5, [/mm] was bis auf den Faktor 1/2 mit dem Ausgangspolynom übereinstimmt (außer diesem Zahlenfaktor könnten auch Faktoren wie z.B. [mm] (u^2+1) [/mm] fehlen, die gar keine Nullstelle enthalten). Somit ist
[mm] f(u)=1/2(u-1)(u+5)=1/2(x^2-1)(x^2+5)=1/2(x+1)(x-1)(x^2+5)=f(x), [/mm] wobei der letzte Faktor genau so einer wie oben in der Klammer erwähnt ist.
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