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FT von sin-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mi 20.02.2013
Autor: algieba

Hallo

Ich habe eine Frage die sicher sehr einfach zu beantworten ist, nur leider finde ich meinen Fehler nicht, oder ich habe bei der Fouriertransformation etwas von Grund auf falsch verstanden:

Sei [mm]f(t) = \sin(1000\pi t)[/mm]. Diese Funktion hat ja eine konstante Schwingung von 500 Hz, also müsste die Fouriertransformation von dieser Funktion doch eine Funktion ergeben, die fast überall nahezu Null ist, und nur bei 500 eine Spitze hat.

Habe ich das so richtig verstanden?


Nun habe ich die Fouriertransformation durchgeführt:
[mm]\mathcal{F}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \sin(1000\pi t) e^{-ixt} dt[/mm]

[mm]= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2i} (e^{i*1000*\pi*t} - e^{-i*1000*\pi*t}) e^{-ixt} dt[/mm]

[mm]= \frac{1}{2i*\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t(i(x-1000\pi))} - e^{-t(i(x+1000\pi))}dt[/mm]

[mm]= \frac{1}{2i*\sqrt{2\pi}} \left [-\frac{1}{i(x-1000\pi)} e^{-t(i(x-1000\pi))} + \frac{1}{i(x+1000\pi)} e^{-t(i(x+1000\pi))} \right ]_0^\infty[/mm]

[mm]= \frac{1}{2i*\sqrt{2\pi}} \left (\frac{1}{i(x-1000\pi)} - \frac{1}{i(x+1000\pi)} \right )[/mm]

[mm]= ... = \frac{500\pi}{\sqrt{2\pi} * ((1000\pi)^2 - x^2)}[/mm]

Diese Funktion sieht aber völlig anders aus als erwartet ([]Klicke hier), und ich weiß jetzt nicht wo mein Denk- oder Rechenfehler liegt. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen.

Vielen Dank.

EDIT: Ich habe einen kleinen Abschreibefehler in der vorletzten Formel behoben

        
Bezug
FT von sin-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mi 20.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Sei [mm]f(t) = \sin(1000\pi t)[/mm]. Diese Funktion hat ja eine
> konstante Schwingung von 500 Hz, also müsste die
> Fouriertransformation von dieser Funktion doch eine
> Funktion ergeben, die fast überall nahezu Null ist, und
> nur bei 500 eine Spitze hat.
>
> Habe ich das so richtig verstanden?
>  
>
> Nun habe ich die Fouriertransformation durchgeführt:
>  [mm]\mathcal{F}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \sin(1000\pi t) e^{-ixt} dt[/mm]

Wieso startest du hier bei der Integration bei t = 0 ?
Bei der Fouriertrafo wird über ganz [mm] $\IR$ [/mm] integriert.


> [mm]= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2i} (e^{i*1000*\pi*t} - e^{-i*1000*\pi*t}) e^{-ixt} dt[/mm]
>  
> [mm]= \frac{1}{2i*\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t(i(x-1000\pi))} - e^{-t(i(x+1000\pi))}dt[/mm]

Ab hier ist eine Fallunterscheidung für $x = [mm] 1000\pi$, [/mm] $x = [mm] -1000\pi$ [/mm] und [mm] $x\not= \pm [/mm] 1000 [mm] \pi$ [/mm] durchzuführen. Es gilt (bis auf Vorfaktoren), evtl. muss vor [mm] $\delta(x)$ [/mm] noch ein [mm] $\sqrt{2\pi}$ [/mm] oder so:

[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx} [/mm] d t = [mm] \delta(x)$. [/mm]


Siehe auch []Wikipedia, runterscrollen zur 3. Tabelle für Sinus.


Viele Grüße,
Stefan

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