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Forum "Fourier-Transformation" - FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0
FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0 < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 30.04.2015
Autor: Calle_b_PTI

Aufgabe
Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion.

[mm] f(t)=s(t)*exp(-\lambda*t) (\lambda>0, [/mm] s(t) ist der Einheitssprung)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen ich bin neu im Forum und hoffe dass alles i. O. ist mit dem post....

Also zur Aufgabe: Die Lösung ist laut Lösungsblatt
[mm] 1/(2\pi)*1/(\lambda*i'*s)-> [/mm] i' soll hier die konjugiert Komplexe sein denk ich

Ich bin aber nur auf [mm] 1/(\lambda*i*s) [/mm] gekommen -> Mathematische Formelsammlung Papula,Seite 333 Tabelle 1, Korrespondenz 9
Also dicht dran bin ich schon ;-) aber ich vermute ich müsste noch Dämpfungs-,Faltungs- oder Vertauschungssatz anwenden um zum Ziel zu kommen. Kann mir jemand helfen (Lösungsweg) und erklären warum das in dem Fall so ist?! Danke und teilt nicht durch 0!!!👍✋


        
Bezug
FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Do 30.04.2015
Autor: fred97


> Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion.
>  
> [mm]f(t)=s(t)*exp(-\lambda*t) (\lambda>0,[/mm] s(t) ist der
> Einheitssprung)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo zusammen ich bin neu im Forum

Herzlich willkommen !


>  und hoffe dass alles
> i. O. ist mit dem post....
>  
> Also zur Aufgabe: Die Lösung ist laut Lösungsblatt
>   [mm]1/(2\pi)*1/(\lambda*i'*s)->[/mm] i' soll hier die konjugiert
> Komplexe sein denk ich

ungewöhnliche Notation , üblich ist [mm] \overline{i} [/mm]


>  
> Ich bin aber nur auf [mm]1/(\lambda*i*s)[/mm] gekommen ->
> Mathematische Formelsammlung Papula,Seite 333 Tabelle 1,
> Korrespondenz 9


Das ist doof, denn ausgerechnet heute habe ich dieses Buch daheim bei mir auf dem Klo liegen lassen ! Kommt nicht mehr vor.


> Also dicht dran bin ich schon ;-) aber ich vermute ich
> müsste noch Dämpfungs-,Faltungs- oder Vertauschungssatz
> anwenden um zum Ziel zu kommen. Kann mir jemand helfen
> (Lösungsweg) und erklären warum das in dem Fall so ist?!


In diesem Forum machen wir das so: Du rechnest vor und wir kontrollieren, korrigieren, etc ...


> Danke und teilt nicht durch 0!!!👍✋

Huiii ! Keine Bange und Grüße

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0: Aufgabe1 Lösungweg
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:15 Fr 01.05.2015
Autor: Calle_b_PTI

Aufgabe
Aufgabe
Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion.

$ [mm] f(t)=s(t)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} (\lambda>0,s(t) [/mm] $ ist der Einheitssprung $ [mm] \sigma(t)) [/mm] $
$ [mm] f(t)=\sigma(t)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} [/mm] $

Ich glaube in der 1.Version des post dieser Frage ist eine missverständliche Notation gewählt, diese ist jetzt genau wie es im Buche steht (exp(-a*t)   ->   [mm] e^{-\lambda*t} [/mm]

Mein Lösungsweg:
$ [mm] f(t)=\sigma(t)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} (\lambda>0) [/mm] $
$ [mm] \sigma(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t \mbox{<0} \\ 1, & \mbox{für } t \mbox{\underline{>}0} \end{cases} [/mm] $
Die Funktion hat also die Struktur $ [mm] e^{-a\cdot{}t}\cdot{}\sigma(t) [/mm] $
In der Mathematischen Formelsammlung von Lothar Papula 10.Auflage,S.333, Tabelle1(exponentielle Fourier-Transformationen)
sucht man die Korrespondenz 9:
$ [mm] Originalfunktion{}f(t)=e^-(a\cdot{}t)\cdot{}\sigma(t){}\gdw{}Bildfunktion F(\omega)=1/(a+i\cdot{}\omega) [/mm] $
Wenn ich das auf die Funktion oben übertrage ist $ [mm] \lambda=a [/mm] $ und der Rest bleibt gleich,d.h
$ [mm] F(\omega)= 1/(\lambda+i\cdot{}\omega) [/mm] $ wäre meine Lösung.

Allerdings habe ich die Lösungen von meinem Prof. dazu die besagen, das Resultat  ist:
$ [mm] 1/(2\cdot{}\pi)\cdot{}(1/(\lambda+\overline{i}\cdot{}s) [/mm] $ wobei ich glaube s entspricht $ [mm] \omega [/mm] $ , die Notation rührt bei ihm von der Gewohnheit  bei der Laplace-Transformation her.

So mehr kann ich nicht an Lösungsweg anbieten...kann mir jemand sagen was ich nicht beachtet habe?
Ich habe am Montag Prüfung in Ingeneursmathematik und wäre froh wenn ich die Punkte für Fourier nicht liegen lassen müsste...

Danke schon mal.

Bezug
        
Bezug
FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Fr 01.05.2015
Autor: Calle_b_PTI

Ich wurde von Fred97 darauf hingewiesen, dass es wohl üblich ist hier
vorzurechen und das Forum kontrolliert und korrigiert falls nötig. Entschuldigt bitte das wusste ich nicht.Also:

Aufgabe
Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion.

[mm] f(t)=s(t)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} (\lambda>0,s(t) [/mm] ist der Einheitssprung [mm] \sigma(t)) [/mm]
[mm] f(t)=\sigma(t)\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} (\lambda>0) [/mm]
[mm] \sigma(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t \mbox{<0} \\ 1, & \mbox{für } t \mbox{>=0} \end{cases} [/mm]
Die Funktion hat also die Struktur [mm] e^{-a*t}*\sigma(t) [/mm]
In der Mathematischen Formelsammlung von Lothar Papula 10.Auflage,S.333, Tabelle1(exponentielle Fourier-Transformationen)
sucht man die Korrespondenz 9:
[mm] Originalfunktion{}f(t)=e^-(a*t)*\sigma(t){}\gdw{}Bildfunktion F(\omega)=1/(a+i*\omega) [/mm]
Wenn ich das auf die Funktion oben übertrage ist [mm] \lambda=a [/mm] und der Rest bleibt gleich,d.h
[mm] F(\omega)= 1/(\lambda+i*\omega) [/mm] wäre meine Lösung.

Allerdings habe ich die Lösungen von meinem Prof. dazu die besagen, das Resultat  ist:
[mm] 1/(2*\pi)*(1/(\lambda+\overline{i}*s) [/mm] wobei ich glaube s entspricht [mm] \omega [/mm] die Notation rührt bei ihm von der Gewohnheit  ei der Laplace-Transformation her.

So mehr kann ich nicht an Lösungsweg anbieten...kann mir jemand sagen was ich nicht beachtet habe?
Ich habe am Montag Prüfung in Ingeneursmathematik und wäre froh wenn ich die Punkte für Fourier nicht liegen lassen müsste...

Danke schon mal.


Bezug
        
Bezug
FT{Sigma(t)*exp(-a*t)},a>0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Fr 01.05.2015
Autor: chrisno


> Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion.
>  
> [mm]f(t)=s(t)*exp(-\lambda*t) (\lambda>0,[/mm] s(t) ist der
> Einheitssprung)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo zusammen ich bin neu im Forum und hoffe dass alles
> i. O. ist mit dem post....

Ja

>  
> Also zur Aufgabe: Die Lösung ist laut Lösungsblatt
>   [mm]1/(2\pi)*1/(\lambda*i'*s)->[/mm] i' soll hier die konjugiert
> Komplexe sein denk ich

Da kann ich Dir natürlich nicht helfen.


>  
> Ich bin aber nur auf [mm]1/(\lambda*i*s)[/mm] gekommen

Ich komme auf fast das Gleiche

->

> Mathematische Formelsammlung Papula,Seite 333 Tabelle 1,
> Korrespondenz 9

Ich habe eine frühere Auflage, da sind gar keine Fouriertransformationen drin.

> Also dicht dran bin ich schon ;-) aber ich vermute ich
> müsste noch Dämpfungs-,Faltungs- oder Vertauschungssatz
> anwenden um zum Ziel zu kommen. Kann mir jemand helfen
> (Lösungsweg) und erklären warum das in dem Fall so ist?!
> Danke und teilt nicht durch 0!!!👍✋
>  

Ich habe Wikipedia genommen. Da wird es einem praktisch vorgerechnet. Man muss nur noch vereinfachen.
Zuerst muss der Vorfaktor geklärt werden. Ich benutze [mm] $\br{1}{\sqrt{2\pi}}$, [/mm] also
[mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \br{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}$ [/mm] f(t) [mm] e^{-i\omega t}dt$ [/mm] Da musst Du entsprechend anpassen.
[mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \br{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}$ e^{-\lambda t} \Theta(t) e^{-i\omega t}dt$ [/mm]
[mm] $=\br{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} e^{-(\lambda + i\omega) t} [/mm] dt = [mm] \br{1}{\sqrt{2\pi}}\br{-1}{\lambda + i\omega}\left[ e^{-(\lambda + i\omega) t \right]_0^{\infty} [/mm] } dt$
[mm] $=\br{1}{\sqrt{2\pi}}\br{1}{\lambda + i\omega}$ [/mm]

Also hast Du das richtig gemacht.

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